Matematyka.pl

Bardzo proszę o szybką pomoc !!!

1. Udowodnić, że jedynymi podzbiorami spójnymi w przestrzeni liczb wymiernych, w przestrzeni liczb niewymiernych oraz w zbiorze Cantora są zbiory jednopunktowe.

2. Niech A będzie domkniętym podzbiorem zwartej i spójnej przestrzeni topologicznej X. Pokazać, że istnieje domknięty i spójny zbiór \(\displaystyle{ B \subset X}\) taki, że \(\displaystyle{ A \subset B}\) i żaden właściwy domknięty spójny podzbiór zbioru B nie zawiera A.

3. Pokazać, że jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) jest spójna i dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\), \(\displaystyle{ f ^{-1}(y)}\) jest zbiorem spójnym, to f jest funkcją ciągłą.

3) Przeciwobrazy punktów są spójne, a więc są przedziałami (być może jednopunktowymi); łatwo widać, że domkniętymi. Skoro są rozłączne dla różnych punktów w obrazie, to najwyżej dla przeliczalnie wielu są to przedziały nietrywialne, a dla pozostałych są to pojedyncze punkty. Wybierzmy teraz \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) i dowolny zbieżny do niego ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\); załóżmy, że \(\displaystyle{ (f(x_{n}))}\) nie zbiega do \(\displaystyle{ f(x)}\), wówczas istnieje podciąg \(\displaystyle{ (x_{n_{k}})}\) taki, że (na przykład) \(\displaystyle{ f(x_{n_{k}}) > f(x)+\alpha}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ \alpha>0}\). Weźmy teraz dowolny przedział otwarty U zawierający \(\displaystyle{ x}\); jego obraz jest przedziałem zawierającym \(\displaystyle{ f(x)}\) i pewną liczbę większą niż \(\displaystyle{ f(x)+\alpha}\). Jak wyżej napisałem, w przedziale \(\displaystyle{ (f(x),f(x)+\alpha)}\) istnieje liczba c, której przeciwobraz \(\displaystyle{ f^{-1}(\{c\})}\) jest jednopunktowy. Teraz, w razie potrzeby, zmniejszamy przedział U, by nie leżała w nim liczba \(\displaystyle{ f^{-1}(\{c\})}\), wówczas \(\displaystyle{ f(U)}\) nie może zawierać przedziału \(\displaystyle{ [f(x),f(x)+\alpha]}\), a zawiera jego końce; sprzeczność ze spójnością f.
Strasznie to brzydkie i maksymalnie wykorzystujące założenia, która pewnie można mocno osłabić, ale niech już tak zostanie.

dziękuję ślicznie!

Btw 3, funkcje, dla których przeciwobrazy punktów są spójne, są nazywane w topologii funkcjami monotonicznymi (ang. monotone). Jest to bardzo ważna klasa funkcji, w szczególności w teorii continuów (zbiorów spójnych, zwartych).

Jeśli to ma być dobre uogólnienie monotoniczności, powinna zachodzić charakteryzacja: funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) jest monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobrazy punktów są przedziałami (niekoniecznie domkniętymi, bo nie zakładamy ciągłości).

Intuicyjnie powinno tak być, lecz na dokładne sprawdzenie nie mam czasu.

Wydaje się być ok (domknięty zbiór spójny na prostej ma jedną z postaci \(\displaystyle{ \{a\},[a,b],[a,\infty),(-\infty,b]}\)).

Ein, W podtekście masz tu ciągłość, ale jej nie zakładamy. Więc nie tylko przedziały domknięte. Jednak funkcja monotoniczna jest ciągła poza (ewentualnie) zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Tym niemniej należałoby dopuszczać też przedziały innych typów.

Wasilewski pisze:3) Przeciwobrazy punktów są spójne, a więc są przedziałami (być może jednopunktowymi); łatwo widać, że domkniętymi. Skoro są rozłączne dla różnych punktów w obrazie, to najwyżej dla przeliczalnie wielu są to przedziały nietrywialne, a dla pozostałych są to pojedyncze punkty. Wybierzmy teraz \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) i dowolny zbieżny do niego ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\); załóżmy, że \(\displaystyle{ (f(x_{n}))}\) nie zbiega do \(\displaystyle{ f(x)}\), wówczas istnieje podciąg \(\displaystyle{ (x_{n_{k}})}\) taki, że (na przykład) \(\displaystyle{ f(x_{n_{k}}) > f(x)+\alpha}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ \alpha>0}\). Weźmy teraz dowolny przedział otwarty U zawierający \(\displaystyle{ x}\); jego obraz jest przedziałem zawierającym \(\displaystyle{ f(x)}\) i pewną liczbę większą niż \(\displaystyle{ f(x)+\alpha}\). Jak wyżej napisałem, w przedziale \(\displaystyle{ (f(x),f(x)+\alpha)}\) istnieje liczba c, której przeciwobraz \(\displaystyle{ f^{-1}(\{c\})}\) jest jednopunktowy. Teraz, w razie potrzeby, zmniejszamy przedział U, by nie leżała w nim liczba \(\displaystyle{ f^{-1}(\{c\})}\), wówczas \(\displaystyle{ f(U)}\) nie może zawierać przedziału \(\displaystyle{ [f(x),f(x)+\alpha]}\), a zawiera jego końce; sprzeczność ze spójnością f.

To w takim razie czy jeśli tak to rozpiszę to jest ok?