[Planimetria] Raczej łatwa planimetria

[Burii]

Dane są dwa trójkąty \(\displaystyle{ OAB}\) i \(\displaystyle{ OCD}\) (odcinek \(\displaystyle{ CD}\) jest obrazem \(\displaystyle{ AB}\) w złożeniu jednokładności i rotacji wokół \(\displaystyle{ O}\)). Ich okręgi wpisane przecinają się w punktach \(\displaystyle{ E, F}\).Pokaż że \(\displaystyle{ \sphericalangle AOE= \sphericalangle DOF}\).

[jgarnek]

Pamiętam to zadanie też mi się wydawało łatwe, ale takie banalne to znowu ono nie jest (moim zdaniem)... Pochodzi z Tournament of Towns Fall 2004, Senior-A Level.
Link do stronki Tournament of Towns, jest tam bardzo wiele zadań:

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.toronto.edu/oz/turgor/archives.php

Link do rozwiązania (jest na ostatniej stronie)

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.toronto.edu/oz/turgor/archives/TT2004F_SAsolutions.pdf

Jak wolisz hinty zamiast rozwiązania, to proszę:

Hint 1:    

Wiesz, co to jest okrąg Apolloniusza (miejsce geometryczne takich punktów X, że \(\displaystyle{ \frac{AX}{BX}=const \neq 1}\))?

Hint 2:    

Niech S, T będą środkami okręgów z zadania. Wykaż, że O ,F, E leżą na okręgu Apolloniusza względem S,T.
Niech I będzie punktem przecięcia tego okręgu Apolloniusza z odcinkiem ST. Wtedy OI jest dwusieczną kąta SOT (twierdzenie o dwusiecznej). Ponadto ST jest symetralną odcinka EF, więc dzieli łuk EF okręgu Apollonisza na pół (a co za tym idzie, wszystkie kąty wpisane, oparte o łuki EI, FI są równe)

[Burii]

Można też korzystając z inwersji...