Matematyka.pl

Zadanie
Wykazać, że przestrzeń C(X) funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej X jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy gdy X jest metryzowalna.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania najlepiej z dokładnymi opisami żebym mogła zrozumieć cały sens dowodu:)
Sama nie mogę wpaść na żaden pomysł.....
Z góry dziękuje za zainteresowanie i za pomoc:)
Pozdrawiam

Umiem w jedną stronę: jak \(\displaystyle{ C(X)}\) jest ośrodkowa to domknięta kula jednostkowa w niej też ma jakiś ośrodek \(\displaystyle{ f_k}\). Połóżmy

\(\displaystyle{ d(x,y)= \sum_k 2^{-k}|f_k(x) - f_k(y)|}\).

Da się pokazać że to jest metryką. Żeby pokazać \(\displaystyle{ d(x,y)=0 \implies x=y}\) trzeba założyć coś o własnościach oddzielania w \(\displaystyle{ X}\), np. że jest Hausdorffa (niektórzy twierdzą że to jest w definicji zwartości). Można wówczas skorzystać z lematu Urysohna aby skonstruować funkcję która ma inną wartość na \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) (z gęstości ośrodka istnieje w nim wówczas jakaś funkcja która też ma taką własność).


(*) Niektórzy twierdzą, że to jest w definicji przestrzeni zwartej.

Bardzo dziękuję za pomoc, ale może ktoś wymyślił jak to zrobić w drugą stronę, będę wdzięczna za pomoc:)