Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lfloor (1+ \sqrt{3})^{2m} \rfloor + 1 =(\sqrt{3}+ 1)^{2m} + (\sqrt{3}- 1)^{2m} = (2\sqrt{3}+4)^{ m} + (4 - 2\sqrt{3})^{m} =2^{m}[(2 - \sqrt{3})^{m} + (2 + \sqrt{3})^{m}] =2^m N}\)
gdzie \(\displaystyle{ N \in N}\)

co gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste ?

niech \(\displaystyle{ n=2k+1}\)
Jest:
\(\displaystyle{ -1 < 1 - \sqrt{3} < 0}\) oraz \(\displaystyle{ (1+\sqrt{3})^2= 2(2+\sqrt{3})}\) tj.

\(\displaystyle{ a_n = (1+\sqrt{3} )^{2k+1} + (1-\sqrt{3} )^{2k+1} = 2^k ( (1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^k + (1- \sqrt{3})(2- \sqrt{3})^k ) = 2^{k+1} (x+3y)}\)
Jest częścią całkowita liczby \(\displaystyle{ (1+\sqrt{3})^n}\)
Przy czym \(\displaystyle{ \begin{cases}(2+\sqrt{3})^k = x+\sqrt{3}y \\ (2-\sqrt{3})^k = x - \sqrt{3}y\end{cases}}\)
oraz \(\displaystyle{ x+y}\) jest nieparzyste (indukcja po k)
tj., \(\displaystyle{ x+3y}\) też jest nieparzysta. Stad maksymalny wykładnik w potedze dwójki to \(\displaystyle{ k+1}\)