Matematyka.pl

Co to znaczy ze pole wektorowe jest lewo niezmiennicze? jakie ono ma wlasnosci?

Dzieki

Stosując abstrakcyjny język geometrii różniczkowej, mozna ładnie napisać, że gładkie pole wektorowe \(\displaystyle{ V}\) na grupie Liego \(\displaystyle{ G}\) jest lewoniezmiennicze jeśli dla każdego \(\displaystyle{ g \in G}\) mamy

\(\displaystyle{ V = (L_g)_* V}\),

gdzie \(\displaystyle{ L_g}\) to odwzorowanie mnożenia z lewej strony przez \(\displaystyle{ g}\):

\(\displaystyle{ L_g \colon G \ni h \mapsto gh \in G}\)

a gwiazdka \(\displaystyle{ _*}\) oznacza pchnięcie (pushforward) pola wektorowego \(\displaystyle{ V}\) za pomocą dyfeomorfizmu \(\displaystyle{ L_g}\), zdefiniowane na punktach przez

\(\displaystyle{ (L_g)_* V(h) = T_{L_g^{-1}(h)}L_g (V({L_g^{-1}(h)}))}\)

(\(\displaystyle{ T_{L_g^{-1}(h)}L_g}\) to pochodna/odwzorowanie styczne do \(\displaystyle{ L_g}\) w punkcie \(\displaystyle{ L_g^{-1}(h)}\)).

Na przykład na grupie Liego \(\displaystyle{ (\mathbb{R}, +)}\) pole \(\displaystyle{ {d \over dx}}\) czyli w innej notacji takie odwzorowanie \(\displaystyle{ \mathbb{R} \ni x \mapsto 1 \in T_x\mathbb{R} = \mathbb{R}}\) jest polem lewoniezmienniczym bo \(\displaystyle{ L_g}\) jest w tym wypadku dodawaniem stałej \(\displaystyle{ g}\) (translacją) - pochodna jest więc w każdym punkcie równa 1. Dostajemy zatem z definicji (podstawiając dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) \(\displaystyle{ g=x}\)) równanie

\(\displaystyle{ V(x) = 1 \cdot V(L_x^{-1}(x)) = V(x-x) =V(0)}\)

Wniosek z tego, że wszystkie pola lewoniezmiennicze są w tym wypadku stałe. Podobnie można pokazać, że np. wszystkie pola lewoniezmiennicze na \(\displaystyle{ (\mathbb{R}_{+}, \cdot)}\) są postaci

\(\displaystyle{ V(g) = gV(0)}\)

i ogólniej, że wszystkie pola lewoniezmiennicze na dowolnej grupie Liego są wyznaczone jednoznacznie przez wartość w zerze, a stąd, że wymiar ich przestrzeni jest równy wymiarowi przestrzeni stycznej w zerze czyli wymiarowi rozmaitości bazowej grupy. Poza tym pokazuje się, że komutator dwóch pól lewoniezmienniczych jest polem lewoniezmienniczym, więc tworzą one podalgebrę Liego algebry wszystkich pól. No i dalej pokazuje się np., że (z dokładnością do topologii) można z takiej algebry pól lewoniezmienniczych odtworzyć wyjściową grupę, co ma swoje implikacje dla klasyfikacji grup Liego.

mustelanivalis pisze:Stosując abstrakcyjny język geometrii różniczkowej, mozna ładnie napisać, że gładkie pole wektorowe \(\displaystyle{ V}\) na grupie Liego \(\displaystyle{ G}\) jest lewoniezmiennicze jeśli dla każdego \(\displaystyle{ g \in G}\) mamy

\(\displaystyle{ V = (L_g)_* V}\),

gdzie \(\displaystyle{ L_g}\) to odwzorowanie mnożenia z lewej strony przez \(\displaystyle{ g}\):

\(\displaystyle{ L_g \colon G \ni h \mapsto gh \in G}\)

a gwiazdka \(\displaystyle{ _*}\) oznacza pchnięcie (pushforward) pola wektorowego \(\displaystyle{ V}\) za pomocą dyfeomorfizmu \(\displaystyle{ L_g}\), zdefiniowane na punktach przez

\(\displaystyle{ (L_g)_* V(h) = T_{L_g^{-1}(h)}L_g (V({L_g^{-1}(h)}))}\)

(\(\displaystyle{ T_{L_g^{-1}(h)}L_g}\) to pochodna/odwzorowanie styczne do \(\displaystyle{ L_g}\) w punkcie \(\displaystyle{ L_g^{-1}(h)}\)).

Na przykład na grupie Liego \(\displaystyle{ (\mathbb{R}, +)}\) pole \(\displaystyle{ {d \over dx}}\) czyli w innej notacji takie odwzorowanie \(\displaystyle{ \mathbb{R} \ni x \mapsto 1 \in T_x\mathbb{R} = \mathbb{R}}\) jest polem lewoniezmienniczym bo \(\displaystyle{ L_g}\) jest w tym wypadku dodawaniem stałej \(\displaystyle{ g}\) (translacją) - pochodna jest więc w każdym punkcie równa 1. Dostajemy zatem z definicji (podstawiając dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) \(\displaystyle{ g=x}\)) równanie

\(\displaystyle{ V(x) = 1 \cdot V(L_x^{-1}(x)) = V(x-x) =V(0)}\)

Wniosek z tego, że wszystkie pola lewoniezmiennicze są w tym wypadku stałe. Podobnie można pokazać, że np. wszystkie pola lewoniezmiennicze na \(\displaystyle{ (\mathbb{R}_{+}, \cdot)}\) są postaci

\(\displaystyle{ V(g) = gV(0)}\)

i ogólniej, że wszystkie pola lewoniezmiennicze na dowolnej grupie Liego są wyznaczone jednoznacznie przez wartość w zerze, a stąd, że wymiar ich przestrzeni jest równy wymiarowi przestrzeni stycznej w zerze czyli wymiarowi rozmaitości bazowej grupy. Poza tym pokazuje się, że komutator dwóch pól lewoniezmienniczych jest polem lewoniezmienniczym, więc tworzą one podalgebrę Liego algebry wszystkich pól. No i dalej pokazuje się np., że (z dokładnością do topologii) można z takiej algebry pól lewoniezmienniczych odtworzyć wyjściową grupę, co ma swoje implikacje dla klasyfikacji grup Liego.

Witaj!

co to znaczy ze one sa wszystkie wyznaczone w zerze? a nie chodzi czasem o element jednostkowy?

A tak oczywiście, przepraszam, chodzi o element jednostkowy I tam w tym drugim przykładzie w szczególności powinno być \(\displaystyle{ V(g) = g V(1)}\)