Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli przeciwobraz każdego zbioru otwartego przez funkcję jest zbiorem otwartym.

Z drugiej strony: czy jeśli \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) przekształca każdy odcinek otwarty w odcinek otwarty, to musi być odwzorowaniem ciągłym?

Udowodnić, że jeśli przeciwobraz każdego zbioru otwartego przez funkcję jest zbiorem otwartym.

... to funkcja jest ciągła.

To jest warunek równoważny ciągłości funkcji w przestrzeniach topologicznych. Dla funkcji \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) działającej pomiędzy przestrzeniami metrycznymi wystarczy po prostu rozpisać definicję ciągłości funkcji w dowolnie ustalonym punkcie.

Astat pisze:
Z drugiej strony: czy jeśli \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) przekształca każdy odcinek otwarty w odcinek otwarty, to musi być odwzorowaniem ciągłym?

Nie.
Funkcja \(\displaystyle{ f:[0,1) \rightarrow \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0 &\mbox{ dla } x=0\\1-x &\mbox{ dla } x\in (0,1)\end{cases}}\)
ma wspomnianą własność.

a czy jeśli funkcja jest ciągła, to oznacza, że przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty?

Odpowiedź jest tu już zapisana.

skoro pytam, to widocznie to nie jest dla mnie takie oczywiste... widzę tylko implikację w drugą stronę - jeśli przekształca zbiory otwarte w otwarte, to jest ciągła.

Odpowiedź znajdziesz w drugim poście w tym temacie. Co tam napisałem?

szw1710 pisze:jeśli przeciwobraz każdego zbioru otwartego przez funkcję jest zbiorem otwartym, to funkcja jest ciągła.

a ja pytam czy to działa w drugą stronę? bo tą definicję znam.

szw1710 pisze:To jest warunek równoważny ciągłości funkcji w przestrzeniach topologicznych. Dla funkcji \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) działającej pomiędzy przestrzeniami metrycznymi wystarczy po prostu rozpisać definicję ciągłości funkcji w dowolnie ustalonym punkcie.

Przecież to napisałem. Definiując ciągłość w sensie Heinego (lub Cauchy'ego) jako konsekwencję otrzymujemy twierdzenie, że obraz zbioru otwartego przez funkcję ciągłą jest otwarty. Z kolei z tego, że przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty, wynika ciągłość pojmowana w sensie Heinego lub Cauchy'ego.

no i o to mi chodziło. dzięki.