Matematyka.pl

Witam,

jak można obliczyć \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{9}}\)? bo głowię się nad tym i nie doszedłem do niczego

Wykorzystaj znaną wartość \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3}}\), wzór na sinus potrojonego kąta (możesz go samodzielnie wyprowadzić) oraz jedynkę trygonometryczną.

Podejrzenie skomplikowanych ,,rachunków" - wartość nie jest (raczej) spotykana.

niestety, wciąż nie wiem jak to zrobić.. nie umiem wyprowadzić wzoru na sinus potrojonego kąta, próbowałem z wzorami redukcyjnymi - ale wtedy dostaję \(\displaystyle{ \cos 70^\circ}\) i nijak mi to nie wychodzi. czy nie mógłby ktoś tego rozpisać?

Jakby to szło w oczywisty sposób to mielibyśmy dokładny wynik w dostępnych tablicach - skoro tego nie mamy to nie idzie klasycznie (może jakieś wzory Cardano, czy cóś podobnego).

Podobne :
198343.htm

wzór na sinus potrojonego kąta:

\(\displaystyle{ \sin 3 \alpha = \sin \alpha (3-4\sin ^{2} \alpha)}\)

Ale nie wiem czy to CI coś pomoże ;p

Mamy
\(\displaystyle{ \sin 3x=\sin(2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x=\\=2\sin x\cos^2x+\sin x\cos^2x-\sin^3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x,}\)
więc
\(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3}=3\sin\frac{\pi}{9}\cos^2\frac{\pi}{9}-\sin^3\frac{\pi}{9}=3\sin\frac{\pi}{9}-4\sin^3\frac{\pi}{9}.}\)
Trzeba teraz rozwiązać otrzymane równanie wielomianowe trzeciego stopnia (jak zauważył piasek101 można się tu posłużyć wzorami Cardano).

Wzory Cardano nic tutaj nie dadzą ponieważ otrzymamy casus irreducibilis który jest wyrażony za pomocą funkcyj trygonometrycznych

Wystarczy obliczyć pierwiastek równania:

\(\displaystyle{ 64 x^6-96 x^4+36 x^2-3}\). Można tutaj podstawić \(\displaystyle{ x^2 = t}\), a potem nawalać Cardano. Ale wg mnie łatwiej jednak byłoby skorzystać z tablic po prostu.

Marcinek665, jak już wspominałem wzory Cardano nic nie dadzą
chyba że zadowolą cię pierwiastki zespolone
Mamy wzory na funkcje trygonometryczne sumy i na funkcje trygonometryczne kąta połówkowego
Z sumy nieskończonego ciągu geometrycznego mamy że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }{ \frac{1}{4^{n}} } = \frac{1}{3}}\)
Z każdą iteracją będziemy przybliżac się do wyniku

Można też rozwinąc sinusa w szereg
(pochodne sinusa oraz cosinusa powtarzają się cyklicznie więc dośc łatwo będzie ten szereg znaleźc)