Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{1+x^{2}y^{2}}{2}}\)

W podpowiedziach jest: podstawić \(\displaystyle{ y=\frac{t}{x}}\)

Z podstawienia wychodzi, że \(\displaystyle{ t^2=-1}\), czyli sprzeczność.

Mieliśmy równanie, które może spełniać całe rodziny funkcji, wybraliśmy jedną i doszło do sprzeczności. Cóż to oznacza? Jak dla mnie to ni mniej ni więcej, że ta rodzina funkcji nie spełnia powyższego równania. A jednak odpowiedź jest inna, w czym tkwi mój błąd?

Dlaczego \(\displaystyle{ t^{2}=-1}\) prowadzi do sprzeczności? Czy nie zakładasz przypadkiem (być może błędnie?), że \(\displaystyle{ t}\) jest liczbą rzeczywistą?

Skoro zakładam, że jest sprzeczność, to znaczy, że działam w ciele liczb rzeczywistych.

A \(\displaystyle{ t}\) nie oznacza czasem zmiennej? Wtedy wychodzi

\(\displaystyle{ \frac{t'x-t}{x^2} + \frac{t}{x^2} = \frac{t^2+1}{2}}\)

i można jechać metodą rozdzielania zmiennych.

Jasne dzięki wielkie.