Niech: \(\displaystyle{ A = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^k + (\sqrt{3}+\sqrt{2})^k}{2}}\) \(\displaystyle{ B = \frac{-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^k + (\sqrt{3}+\sqrt{2})^k}{2}}\)
Widzimy, że \(\displaystyle{ A-B = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^k}\)
Niech \(\displaystyle{ \sqrt{a} = A}\), \(\displaystyle{ \sqrt{b} = B}\)
stąd: \(\displaystyle{ a = \frac{(5-2\sqrt{6})^k+(5+2\sqrt{6})^k+2}{4}}\) \(\displaystyle{ b = \frac{(5-2\sqrt{6})^k+(5+2\sqrt{6})^k-2}{4}}\)
Zatem widzimy, że \(\displaystyle{ b = a-1}\). Pokażemy jeszcze, że \(\displaystyle{ a}\) jest naturalne.
Rozpatrzmy ciąg \(\displaystyle{ x_n = (5-2\sqrt{6})^n+(5+2\sqrt{6})^n}\)
Jego równanie charakterystyczne to \(\displaystyle{ x^2-10x+1=0}\), stąd \(\displaystyle{ x_{n+2} = 10x_{n+1}-x_n}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ x_n \equiv x_{n+1} \equiv 2 \pmod 4}\), to \(\displaystyle{ x_{n+2} \equiv 10\cdot 2 - 2 = 18 \equiv 2 \pmod 4}\). Sprawdzamy, że \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) przystają 2 mod 4, na mocy indukcji dla każdego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_n \equiv 2 \pmod 4}\) a stąd wynika już, że \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą naturalną.