Całka nieoznaczona z funkcji niewymiernej
: 23 kwie 2011, o 17:34
Przykład z Krysickiego, 17.28/331
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{x-5}+ \sqrt{x-7} }}\)
Wykombinowałem coś takiego:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{x-5}+ \sqrt{x-7} }= \int \frac{dx}{ \sqrt{x-5} } \cdot \frac{1}{1+ \sqrt{ \frac{x-7}{x-5} } }}\)
\(\displaystyle{ t=\sqrt{ \frac{x-7}{x-5} }}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{5t ^{2}-7 }{t ^{2}-1 }}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{4t}{(t ^{2}-1) ^{2} }dt}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x-5}= \sqrt{ \frac{2}{1-t ^{2} } }}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{x-5} } \cdot \frac{1}{1+ \sqrt{ \frac{x-7}{x-5} } }=4 \int \frac{tdt}{(t ^{2}-1 ) ^{2} } \sqrt{\frac{1-t ^{2} }{2}}}\)
No i z tym to już sobie poradzę. Rzecz w tym, że sądzę, iż znajdzie się jakiś lepszy, prostszy sposób na rozwiązanie tego przykładu. Pojawia się on wśród garści dość prostych całek z funkcji niewymiernych, przy których nie trzeba się napracować. Czy ktoś mógłby doradzić jakieś bardziej rezolutne podstawienie? Może coś przez części?
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{x-5}+ \sqrt{x-7} }}\)
Wykombinowałem coś takiego:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{x-5}+ \sqrt{x-7} }= \int \frac{dx}{ \sqrt{x-5} } \cdot \frac{1}{1+ \sqrt{ \frac{x-7}{x-5} } }}\)
\(\displaystyle{ t=\sqrt{ \frac{x-7}{x-5} }}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{5t ^{2}-7 }{t ^{2}-1 }}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{4t}{(t ^{2}-1) ^{2} }dt}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x-5}= \sqrt{ \frac{2}{1-t ^{2} } }}\)
wtedy:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{x-5} } \cdot \frac{1}{1+ \sqrt{ \frac{x-7}{x-5} } }=4 \int \frac{tdt}{(t ^{2}-1 ) ^{2} } \sqrt{\frac{1-t ^{2} }{2}}}\)
No i z tym to już sobie poradzę. Rzecz w tym, że sądzę, iż znajdzie się jakiś lepszy, prostszy sposób na rozwiązanie tego przykładu. Pojawia się on wśród garści dość prostych całek z funkcji niewymiernych, przy których nie trzeba się napracować. Czy ktoś mógłby doradzić jakieś bardziej rezolutne podstawienie? Może coś przez części?
Pozdrawiam.
