Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x) = \prod_{i=1}^{n} \left( x-x_{i}\right) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}}\)

ma pierwiastki (\(\displaystyle{ x_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\)) wymierne oraz wszystkie współczynniki (\(\displaystyle{ a_{k}}\)dla \(\displaystyle{ k = 1,2,...,n-1}\)) całkowite, to pierwiastki też są liczbami całkowitymi.

Temat wrzuciłem w dziale z wielomianami, ale nie spotkałem się z odzewem, więc chciałbym spróbować tutaj.

Proszę powiedzieć mi, czy jest to prawda, a jeśli tak, to też proszę o proste uzasadnienie.

Pozdrawiam

Jeżeli wielomian ma współczynniki całkowite
\(\displaystyle{ W(x)=a_{n}x^{n}+ \dots a_{1}x + a_{0}}\) to jeżeli liczba wymierna \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest jego pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ p|a_{0} \wedge q|a_{n}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ 0=W(\frac{p}{q})\cdot q^{n} = \sum_{i=0}^{n}a_{i}p^{i}q^{n-i}}\) z tego wynikają bezpośrednio te podzielności.

Dzięki, nie przypuszczałem, że to pójdzie z tak trywialnego twierdzenia jak to o pierwiastkach wymiernych

Ten wniosek jest w stanie zniszczyć niektóre zadania olimpijskie, więc jest istotny.