Matematyka.pl

Znaleźc wszystkie funkcje ciągłe \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) spełniające dla dowolnych \(\displaystyle{ u,v\in\mathbb{R}}\) następujące równanie funkcyjne:
\(\displaystyle{ \frac{f(|u-v|)+f(|u+v|)}{2} =f(|u|)+f(|v|)}\)

Oczywiście potrafimy powiedzieć o tej funkcji cokolwiek tylko dla argumentów \(\displaystyle{ \ge 0}\)
\(\displaystyle{ v:=0 \Rightarrow f(0)=0}\)
\(\displaystyle{ v:=u \Rightarrow f(2|u|)=4f(|u|)}\)
Zakładamy indukcyjnie:
\(\displaystyle{ f(n|u|)=n^{2}f(|u|)}\)
Dówód:
\(\displaystyle{ v:=(n-1)u}\) wstawiamy założenie i wychodzi.
Niech \(\displaystyle{ x \ge 0}\), mamy:
\(\displaystyle{ f(nx)=n^{2}f(x), x:=\frac{x}{n} \Rightarrow f(x)=n^{2}f(\frac{x}{n}), x:= mx \Rightarrow m^{2}f(x) = f(mx) = n^{2}f(\frac{m}{n}x), x:= 1 \Rightarrow f(\frac{m}{n}) = \frac{m^{2}}{n^{2}}f(1)}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) ciągła, a każdą liczbę rzeczywistą dodatnią możemy dowolnie dobrze przybliżyć liczbą wymierną, to dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}f(1)}\) dla dowolnej wartości \(\displaystyle{ f(1)}\), dla \(\displaystyle{ x < 0}\) przyjmujemy dowolną funkcję ciągłą, która w 0 przyjmuje wartość 0.