Matematyka.pl

Rozstrzygnąć, czy istnieje taka funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{Z}_{+} \to \mathbb{Z}_{+}}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f(f(n)) =2n}\).

Prosiłbym o wyjaśnienie, w jaki sposób można dojść do funkcji z zadania. Funkcja, którą podali we wzorcówce jest wg. mnie nie do zgadnięcia i nie do obliczenia. Proszę pokazać mi, że się mylę i pokazać mi jakiś fajny sposób na dojście do tego

Nie mylisz sie.

Oj, to smutno w takim razie

Powiem jak dojść do takiej funkcji, a szczegóły sobie dopracujesz :p
No to funkcja ta musi być różnowartościowa i nie ma punktów stałych. No to szukamy wartości f(1), nie może być to 2, no to dajmy 3. No to już nam definiuje jakiś ciąg kolejnych wartości \(\displaystyle{ f^{k}(1): 1,3,2,2 \cdot 3, 2^{2}, 2^{2} \cdot 3,...}\) Nasuwa się \(\displaystyle{ f(2^{k} \cdot 3) = 2^{k+1} \ f(2^{k}) = 2^{k} \cdot 3}\). Ale co dalej? No to wygenerujmy coś podobnego, tu musisz to trochę dopracować bo mi się nie chce Niech

\(\displaystyle{ n=p_{1}^{\alpha_{1}},p_{2}^{\alpha_{2}},...,p_{k}^{\alpha_{k}}, p_{i+1} > p_{i}, \alpha_{k} = 2s+1 \Rightarrow f(n) = f(n \cdot p_{k}),\alpha_{k} = 2s >0 \Rightarrow f(n) = f(2 \cdot \frac{n}{p_{k}})}\).

No jakiś szczególny przypadek gdy \(\displaystyle{ p_{k} = 3}\).
Powinno działać.