Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
przemon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 gru 2007, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Pomógł: 5 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: przemon » 14 kwie 2011, o 16:40

Dziś odbył się ten konkurs. Zamieszczam z niego trudniejsze (moim zdaniem) zadania i proszę o jakieś wskazówki:

1. Obliczyć:
\(\displaystyle{ tan^6(20^o)-33 tan^4(20^o)+27 tan^2(20^o)}\)

2. Wyznaczyć takie trójki \(\displaystyle{ x, y, z \in N}\), że \(\displaystyle{ x^2+1}\) i \(\displaystyle{ y^2+1}\) są liczbami pierwszymi oraz \(\displaystyle{ (x^2+1)(y^2+1)=z^2+1}\)

Podpowiedzi mile widziane

darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: darek20 » 14 kwie 2011, o 17:53

1.
\(\displaystyle{ \sqrt{3} =tg60^o=tg(40^o+20^o)}\)

i wzory teraz
\(\displaystyle{ tg( \alpha + \beta) = {\frac{{tg \alpha + tg \beta}}{{1 - tg \alpha tg \beta}}}}\)
\(\displaystyle{ tg 2x = \frac{2tgx}{1- tg^2x}}\)
Ostatnio zmieniony 14 kwie 2011, o 19:18 przez darek20, łącznie zmieniany 1 raz.

ostryo

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: ostryo » 14 kwie 2011, o 17:58

2. Mozna zastanowic sie nad tym gdyby \(\displaystyle{ z}\) bylo nieparzyste. Wtedy prawa strona jest parzysta. Po lewej mamy iloczyn dwoch liczb pierwszych i trzeba zastanowic sie nad tym kiedy taki iloczyn jest parzysty

przemon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 gru 2007, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Pomógł: 5 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: przemon » 14 kwie 2011, o 18:24

1. No przy zastosowaniu tych wzorów otrzymuję równanie kwadratowe z którego mogę otrzymać wartość tg20, a potem podstawić, ale to kupa roboty. Nie ma jakiegoś sprytniejszego rozwiązania?

2. Niestety nic więcej nie zostało powiedziane, a jeśli nawet \(\displaystyle{ z}\) byłoby nieparzyste to i tak nie byłoby łatwo wyznaczyć rozwiązania albo wykluczyć ich istnienie (chyba).

ostryo

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: ostryo » 14 kwie 2011, o 18:28

przemon pisze: 2. Niestety nic więcej nie zostało powiedziane, a jeśli nawet \(\displaystyle{ z}\) byłoby nieparzyste to i tak nie byłoby łatwo wyznaczyć rozwiązania albo wykluczyć ich istnienie (chyba).
Dla zalozenia ze \(\displaystyle{ z}\) jest nieparzyste otrzymujesz \(\displaystyle{ x^2+1 = 2 \ \vee \ y^2+1=2}\).
Mozliwosc gdy \(\displaystyle{ z}\) jest parzyste trzeba rozwazyc oddzielnie.

Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1110
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: Mruczek » 14 kwie 2011, o 18:43

Wykaż, że dla każdego (rzeczywistego) \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ a \ge 0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (1+a)^{n} \ge 1+na+\frac{(n-1)n}{2}a^{2}}\)

Proszę o wskazówkę.
Ostatnio zmieniony 14 kwie 2011, o 19:19 przez Mruczek, łącznie zmieniany 1 raz.

darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: darek20 » 14 kwie 2011, o 18:54

przemon pisze:1. No przy zastosowaniu tych wzorów otrzymuję równanie kwadratowe z którego mogę otrzymać wartość tg20, a potem podstawić, ale to kupa roboty. Nie ma jakiegoś sprytniejszego rozwiązania?
nie trzeba wyliczac \(\displaystyle{ tg20^o}\) , tam nie powstanie równanie kwadratowe tylko równanie trzeciego stopnia

przemon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 gru 2007, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Pomógł: 5 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: przemon » 14 kwie 2011, o 19:05

ostryo pisze:
przemon pisze: 2. Niestety nic więcej nie zostało powiedziane, a jeśli nawet \(\displaystyle{ z}\) byłoby nieparzyste to i tak nie byłoby łatwo wyznaczyć rozwiązania albo wykluczyć ich istnienie (chyba).
Dla zalozenia ze \(\displaystyle{ z}\) jest nieparzyste otrzymujesz \(\displaystyle{ x^2+1 = 2 \ \vee \ y^2+1=2}\).
Mozliwosc gdy \(\displaystyle{ z}\) jest parzyste trzeba rozwazyc oddzielnie.
To, to wiem Ale jak załóżmy \(\displaystyle{ x^2+1 = 2}\) to musisz jeszcze wyznaczyć lub wskazać, że nie istnieją \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\), a nie wiem czy to jest takie łatwe, poza tym to tylko gdybanie - w treści nie ma nic o nieparzystości

darek20,
Racja, błąd wynika z tego, że bezmyslnie ppodstawiałem do wzorów które napisałeś, a nie zauważyłem, że jeden z nich jest błędnie zapisany, zaraz przeliczę jeszcze raz.

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: Vax » 14 kwie 2011, o 19:19

Mruczek pisze:Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ a \ge 0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (1+a)^{n} \ge 1+na+\frac{(n-1)n}{2}a^{2}}\)
Ukryta treść:    

Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1110
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: Mruczek » 14 kwie 2011, o 19:21

Miało być dla n rzeczywistego.

darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: darek20 » 14 kwie 2011, o 19:29

Mruczek pisze:Miało być dla n rzeczywistego.
Na pewno? chyba chodzi o \(\displaystyle{ a}\)?

Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1110
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: Mruczek » 14 kwie 2011, o 19:36

Chyba pisało, że dla każdego \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ a \ge 0}\).

wally
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 3 paź 2007, o 13:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piotrków Tryb
Pomógł: 6 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: wally » 14 kwie 2011, o 19:55

EASY MAN!!

Mruczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1110
Rejestracja: 26 paź 2008, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 155 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: Mruczek » 15 kwie 2011, o 19:54

przemon pisze:2. Wyznaczyć takie trójki \(\displaystyle{ x, y, z \in N}\), że \(\displaystyle{ x^2+1}\) i \(\displaystyle{ y^2+1}\) są liczbami pierwszymi oraz \(\displaystyle{ (x^2+1)(y^2+1)=z^2+1}\)
Link

przemon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 gru 2007, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Pomógł: 5 razy

Konkurs Matematyczny im. S. Chróścikowskiego w Chełmie

Post autor: przemon » 18 kwie 2011, o 10:36

chyba ktoś przesadził... (szczególnie, że konkurs odbywał się w ten sam dzień, co drugi dzień zawodów III stopnia OM )

ODPOWIEDZ