Matematyka.pl

Jest to zadanie z Krysickiego.
W jakim stosunky parabola \(\displaystyle{ y^2=2x}\) dzieli pole koła \(\displaystyle{ x^2+y^2=8}\)

Pole koła obliczam ze wzoru i wychodzi \(\displaystyle{ 8\pi}\)
Trzeba obliczyć pole koła ograniczone parabolą, w tym celu znajduję punkty przecięcia czyli:

\(\displaystyle{ 2x=8-x^2}\)
\(\displaystyle{ x^2+2x-8=0}\)

No i się pojawia problem bo pierwiastki wychodzą \(\displaystyle{ 2 \vee -4}\) a wykres jest symetryczny więc powinny być jednakowe??

\(\displaystyle{ -4}\) nie jest rozwiązaniem pierwszego równania w liczbach rzeczywistych. Dodatkowo, proponuję liczyć wszystko jako \(\displaystyle{ f(y)\mbox{d}y}\).

Pole kola to \(\displaystyle{ 8 \pi}\) , pole figury wyznaczonej przez parabole po lewej od x=2 to:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \sqrt{2x}dx = \frac{8}{3}}\)

a pole figury wyznaczonej przez kolo po prawej od x=2 to cos

wiec:

\(\displaystyle{ \int_{-2}^{2} (\sqrt{8-x^2}-2) dx=2\pi-4}\)

zatem

\(\displaystyle{ P_1=2 \pi -4 + \frac{8}{3} = 2\pi-\frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ P_2=8\pi-P_1= 6\pi+\frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{P_1}{P_2}=\frac{\pi-\frac{2}{3}}{3\pi+\frac{2}{3}} \approx 0.245}\)