Matematyka.pl

Jak formalnie uzasadnić zbieżność \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}e^{t} sin(e^{2t})\mbox{d}t}\) oraz rozbieżność \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } xsinx}\)

\(\displaystyle{ x_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \\
y_n = \frac{\pi}{2} + 2 n \pi}\)

a zbieżność?

\(\displaystyle{ e^{-t} sin(e^{2t}) < e^{-t}}\)

no ale jak mogę użyć kryterium porównawczego do całki o wyrazach i dodatnich, i ujemnych?
Chyba, że ten minus przy \(\displaystyle{ e^t}\) ma jakieś uzasadnienie, bo nie widzę w tym momencie o co Ci chodzi

Szacuje ogon:
\(\displaystyle{ \left| \int_N^{\infty} e^{-t} cos(e^{2t}) dt \right| \le \int_N^{\infty} |e^{-t} cos(e^{2t}) |dt \le
\int_N^{\infty} e^{-t} dt = e^{-N} (N \rightarrow \infty ) \rightarrow 0.}\)

ale mamy \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}e^{t} sin(e^{2t})\mbox{d}t}\), więc co nam daje zbieżność \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}e^{-t} sin(e^{2t})\mbox{d}t}\) ?