Przekształcenie równania różniczkowego
: 8 kwie 2011, o 21:11
Witam, ucząc się do kolokwium rozwiązuję przykłady z Krysickiego. "Problem" w tym, że wychodzą mi trochę inne wyniki niż w odpowiedziach i nie potrafię swoich doprowadzić do postaci takiej jak podane jest w książce. Stąd też moje pytanie. Czy moje obliczenia są błędne, czy też mój wynik jest poprostu inną formą książkowej odpowiedzi:
Równanie 1:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=3x-2y+1}\)
\(\displaystyle{ u=3x-2y+1}\); \(\displaystyle{ \frac{du}{dx}=3-2\frac{dy}{dx} \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\frac{du}{dx}+\frac{3}{2}=\frac{dy}{dx}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\frac{du}{dx}+\frac{3}{2}=u \Leftrightarrow \frac{du}{-2u-\frac{3}{2}}=dx \Leftrightarrow\frac{du}{-2(u+\frac{3}{4})}=dx \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int\frac{du}{u+\frac{3}{4}}=\int dx\Leftrightarrow-\frac{1}{2}ln\left| 3x-2y+\frac{7}{4}\right| =x+C}\)
Natomiast rozwiązanie z podręcznika to: \(\displaystyle{ 3x-2y+1= \frac{3- e^{C-2x} }{2}}\)
Równanie 2:
\(\displaystyle{ 2x -y +(4x-2y+3) \frac{dy}{dx}=0 \Leftrightarrow - \frac{3}{2} +(2x-y +\frac{3}{2})+2(2x-y+ \frac{3}{2} )\frac{dy}{dx}=0}\)
\(\displaystyle{ 2x-y+ \frac{3}{2}=u}\); \(\displaystyle{ 2- \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx} \Leftrightarrow 2- \frac{du}{dx}=\frac{dy}{dx}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{3}{2}+u+2u \cdot (2- \frac{du}{dx})=0 \Leftrightarrow-5u+ \frac{3}{2}=-2u \frac{du}{dx} \Leftrightarrow \frac{-2udu}{-5u+ \frac{3}{2} }=dx \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{5} \cdot \frac{udu}{u- \frac{3}{10} }=dx \Leftrightarrow \frac{2}{5}\int \frac{udu}{u- \frac{3}{10} }=x \Leftrightarrow \frac{2}{5} \cdot (x+\frac{3}{10}ln\left|u- \frac{3}{10} \right|+C)=x \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ -\frac{3}{5}x+\frac{6}{50}ln\left| 2x-y+\frac{6}{5}\right|=C}\)
Natomiast rozwiązanie z podręcznika to: \(\displaystyle{ 5x+10y+C=3ln\left| 10x-5y+6\right|}\)
Równanie 1:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=3x-2y+1}\)
\(\displaystyle{ u=3x-2y+1}\); \(\displaystyle{ \frac{du}{dx}=3-2\frac{dy}{dx} \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\frac{du}{dx}+\frac{3}{2}=\frac{dy}{dx}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\frac{du}{dx}+\frac{3}{2}=u \Leftrightarrow \frac{du}{-2u-\frac{3}{2}}=dx \Leftrightarrow\frac{du}{-2(u+\frac{3}{4})}=dx \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int\frac{du}{u+\frac{3}{4}}=\int dx\Leftrightarrow-\frac{1}{2}ln\left| 3x-2y+\frac{7}{4}\right| =x+C}\)
Natomiast rozwiązanie z podręcznika to: \(\displaystyle{ 3x-2y+1= \frac{3- e^{C-2x} }{2}}\)
Równanie 2:
\(\displaystyle{ 2x -y +(4x-2y+3) \frac{dy}{dx}=0 \Leftrightarrow - \frac{3}{2} +(2x-y +\frac{3}{2})+2(2x-y+ \frac{3}{2} )\frac{dy}{dx}=0}\)
\(\displaystyle{ 2x-y+ \frac{3}{2}=u}\); \(\displaystyle{ 2- \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx} \Leftrightarrow 2- \frac{du}{dx}=\frac{dy}{dx}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{3}{2}+u+2u \cdot (2- \frac{du}{dx})=0 \Leftrightarrow-5u+ \frac{3}{2}=-2u \frac{du}{dx} \Leftrightarrow \frac{-2udu}{-5u+ \frac{3}{2} }=dx \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{5} \cdot \frac{udu}{u- \frac{3}{10} }=dx \Leftrightarrow \frac{2}{5}\int \frac{udu}{u- \frac{3}{10} }=x \Leftrightarrow \frac{2}{5} \cdot (x+\frac{3}{10}ln\left|u- \frac{3}{10} \right|+C)=x \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ -\frac{3}{5}x+\frac{6}{50}ln\left| 2x-y+\frac{6}{5}\right|=C}\)
Natomiast rozwiązanie z podręcznika to: \(\displaystyle{ 5x+10y+C=3ln\left| 10x-5y+6\right|}\)