Matematyka.pl

Witam
Czy jest jakaś ogólna zasada rozwiązywania szeregów które zawierają funkcja trygonometryczne i logarytmy?
Próbowałam takie szeregi rozwiązać z kryterium porównawczego, ale za bardzo nawet nie wiem do czego można je porównać i wyniki wychodziły co najmniej dziwne...
tu są z którymi nie umiem sobie poradzić:
a) \(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{\log n}{{n^{2}} \sqrt{n}}}}\)

b)\(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^{\infty} {\tg ^{2}} \frac {1}{n}}\)

c) \(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^{\infty} n \sin \frac {1}{n}}\)

d) \(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{\log n}{{n^{3}} -n}}}\)

e) \(\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^{\infty} {n^{2}} \sin \frac {2}{n} \tg \frac {5}{n}}\)

kilka pomocnych oszacowań:

\(\displaystyle{ k\ln x^{\frac{1}{k}}\leq x}\) dla \(\displaystyle{ x,k>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}x\leq \sin {x}\leq x\leq \tan {x}}\) dla \(\displaystyle{ x\in (0,\frac{\pi}{2})}\)

1.

\(\displaystyle{ \frac{\log {n}}{n^2\sqrt{n}}=\frac{1}{\ln 10}\cdot \frac{\ln n}{n^2\sqrt{n}}\leq \frac{1}{\ln 10}\cdot \frac{2\sqrt{n}}{n^2\sqrt{n}}=\frac{2}{\ln 10}\cdot \frac{1}{n^2}}\)

b)
\(\displaystyle{ \frac{\tan ^2{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n^2}}\to 1}\)

c)

\(\displaystyle{ n\sin {\frac{1}{n}}>n\cdot \frac{2}{\pi}\cdot \frac{1}{n}=\frac{2}{\pi}}\)

d)

\(\displaystyle{ \frac{\log {n}}{n^3-n}\leq \frac{n}{n^3}=\frac{1}{n^2}}\)

e)

\(\displaystyle{ n^2\sin \frac{2}{n}\tan {\frac{5}{n}}=\frac{\sin {\frac{2}{n}}}{\frac{2}{n}}\cdot \frac{\sin {\frac{5}{n}}}{\frac{5}{n}}\cdot \cos \frac{5}{n}\cdot 10\to 10}\)

więc nie jest spełniony warunek konieczny

No już trochę zaczynam łapać ale...
b) skąd to się wziął ten mianownik? bo licznik widzę ze pozostał bez zmian.
e) w ogóle nie wiem skąd ta granica się wzięła

p.s. Dzięki za pomoc

b) zastosowałem kryterium ilorazowe:

jeśl mamy szereg \(\displaystyle{ \sum{a_n}}\) oraz zbieżny szereg \(\displaystyle{ \sum{b_n}}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{n_b}=b}\), gdzie \(\displaystyle{ b>0}\) to \(\displaystyle{ a_n}\) też jest zbieżny (dowód np. w Fichteholtzu albo w Szeregach nieskończonych, tylko nie pamiętam, jaki autor)

e)

z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=1}\) - ostatecznie szereg nie spełnia warunku konieczniego zbieżności

Dzięki