Matematyka.pl

Bardzo proszę o pomoc w obliczeniu poniższych 2 pochodnych:

\(\displaystyle{ f(t)=( \sqrt[3]{t} + 2t)(1+ \sqrt[3]{t ^{2} } +3t)}\)

\(\displaystyle{ f(u) = \frac{2}{u^{3} -1 }}\)

Z góry dziękuje za pomoc

1. Pochodna iloczynu albo powymnażaj nawiasy i po kolei różniczkuj każdy składnik.
2. Pochodna ilorazu najlepiej, ale można też potraktować jak funkcję złożoną.

1. po rozpisaniu:

\(\displaystyle{ f(t)=6t^2+3t+2t \sqrt[3]{t^2}+ 3t\sqrt[3]{t}+ \sqrt[3]{t}=6t^2+3t+2t^\frac{5}{3}+3t^\frac{4}{3}+t^\frac{1}{3}}\)

stąd:

\(\displaystyle{ f'(t)= 12t+3+\frac{10}{3}t^\frac{2}{3}+4t^\frac{1}{3}+\frac{1}{3}t^\frac{-2}{3}=12t+3+\frac{10}{3}\sqrt[3]{t^2}+4\sqrt[3]{t}+\frac{1}{3\sqrt[3]{t^2}}}\)

2.

\(\displaystyle{ (\frac{f}{g})' = \frac{f'*g-f*g'}{g^2}}\)

czyli

\(\displaystyle{ f'(u)=(\frac{1}{u^3-1})\frac{d}{du}= \frac{0*(u^3-1)-2*3u^2}{(u^3-1)^2} = -\frac{6u^2}{(u^3-1)^2}=-6(\frac{u}{u^3-1})^2=-\frac{3}{2}u^2f(u)^2}\)