Matematyka.pl

mam do policzenia granice ciągu: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{ n^{k} } \cdot \left( k!+ \frac{\left( k+1\right)! }{1!} + \frac{\left( k+2\right)! }{2!}+...+ \frac{(k+n)!}{n!} \right)}\)
bardzo prosze o pomoc:)

Justyna2199 pisze:mam do policzenia granice ciągu: \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{ n^{k} } \cdot ( k!+ \frac{\left( k+1\right)! }{1!} + \frac{\left( k+2\right)! }{2!}+...+ \frac{(k+n)!}{n!})}\)
bardzo prosze o pomoc:)

Wsumie to w treści juz wszystko jest

Przyjmujemy
\(\displaystyle{ x_n = n^{k}}\),
\(\displaystyle{ y_n = k!+ \frac{\left( k+1\right)! }{1!} + \frac{\left( k+2\right)! }{2!}+...+ \frac{(k+n)!}{n!}}\).

Wstawiamy do Tw. Stolza, wiec liczmy granicę

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}}\).

Obliczamy różnice i dostajemy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(k+n)!}{n!}}{(n+1)^k-n^k} = \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)(n+2) \cdot ... \cdot (n+k)}{(n+1)^k-n^k} = \lim_{n \to \infty } \frac{n^k+...}{ -n^k +n^k+{n \choose 1} n^{k-1}+...} = \lim_{n \to \infty } \frac{n^k+...}{n^k+...} = 1}\)

bo pozostale potęgi sa mniejsze od \(\displaystyle{ n^k}\).

Stąd granica wyjściowego ciągu jest rowna \(\displaystyle{ 1}\).

a w mianowniku \(\displaystyle{ n^{k}}\) się nie kasuję?

Skasuje się.

Wyjdzie nam, że stopień licznika to k, a mianownika, to k-1. Więc granicą będzie plus nieskończoność.

\(\displaystyle{ {n \choose 1} n^{k-1} = n^k}\)

wiec moze i 2 pierwsze wyrazy sie kasuja, ale z tego wychodzi \(\displaystyle{ n^k}\)

Ale przecież

\(\displaystyle{ (n+1)^k = {k \choose 0} n^k + {k \choose 1} n^{k-1} + {k \choose 2} n^{k-2} + \ldots + {k \choose k}}\)

a to nie to samo, co

\(\displaystyle{ {n \choose 0} n^k + {n \choose 1} n^{k-1} + {n \choose 2} n^{k-2} + \ldots + {n \choose k}.}\)

Granica wynosi \(\displaystyle{ \infty.}\)

DjFlash pisze:Obliczamy różnice i dostajemy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{(k+n)!}{n!}}{(n+1)^k-n^k} = \ldots}\)

Tu w mianowniku powinno być \(\displaystyle{ n^k-(n-1)^k,}\) choć akurat nie ma to wpływu na wynik.

Dasio11, masz racje. Spojrzalem na swoj post wyzej, a nie na to ze napisalem go zle. Widac z rozpedu, bo to glupi blad i az sie dziwie jak ja to napisalem....