Matematyka.pl

Mam problem z policzeniem takiej całki \(\displaystyle{ \int \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} }}\).
Próbowałem jakiegoś podstawienia, ale nie przybliżyło mnie do celu. Proszę o jakąś podpowiedź z czego uderzać.

I podstawienie Eulera, ( warto zapamiętać wzór ile wynosi taka całka)

... wymiernych

punkt B06

alfgordon pisze:I podstawienie Eulera, ( warto zapamiętać wzór ile wynosi taka całka)

Zajrzałem na stronę i szczerze mówiąc nie widzę tego podstawienia w tym przykładzie.

Podstawienie x=sinh t załatwia sprawę. Sam nie wiem, dlaczego wielu wykładowców kładzie duży nacisk na podstawienia Eulera, nie wspominając nic o podstawianiu funkcji hiperbolicznych.

\(\displaystyle{ \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}}\)

Własność - jedynka hiperboliczna

\(\displaystyle{ \cosh ^2 x-\sinh^2 x=1}\), czyli \(\displaystyle{ \cosh ^2 x=1+\sinh^2 x}\)

Pochodne: \(\displaystyle{ \frac{d}{dx} \sinh x=\cosh x, \frac{d}{dx} \cosh x=\sinh x}\)

Całka typu:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2} }=}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\sinh t\\ dx=\cosh t dt \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{\cosh t dt}{ \sqrt{1+\sinh ^2 t} }= \int \frac{\cosh t dt}{ \sqrt{\cosh ^2 t} }=\int \frac{\cosh t dt}{ \cosh t}=\int dt=t+C= \mbox{arsinh} x+C}\)

Podstawienie Eulera sprowadzi tę całkę do całki z funkcji wymiernej
Poza tym jeżeli nie miał wprowadzonych funkcji hiperbolicznych na lekcji
to mogą mu nie uznać

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{ \sqrt{1+x^2}} \mbox{d}x \\
t=x+ \sqrt{1+x^2}\\
t-x= \sqrt{1+x^2}\\
t^2-2tx+x^2=1+x^2\\
t^2-2tx=1\\
t^2-1=-2tx\\
x=\frac{t^2-1}{2t}\\
\mbox{d}x = \frac{2t \cdot 2t-2\left( t^2-1\right) }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{4t^2-2t^2+2 }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{2t^2+2 }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x = \frac{t^2+1 }{2t^2} \mbox{d}t\\
\sqrt{1+x^2}=t-x=t- \frac{t^2-1}{2t}= \frac{2t^2-t^2+1}{2t}= \frac{t^2+1}{2t}\\
\int{ \frac{2t}{t^2+1} \cdot \frac{t^2+1 }{2t^2} \mbox{d}t}\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t} }=\ln{\left| t\right| }+C\\
=\ln{\left| x+ \sqrt{1+x^2} \right| } +C}\).