Matematyka.pl

Potrzebuję obliczyć długość krzywej funkcji \(\displaystyle{ f=\sqrt{1-x ^{2} }}\) na przedziale \(\displaystyle{ 1\ge x \ge 0}\)
a więc \(\displaystyle{ f'=(\sqrt{1-x ^{2} })'}\) = \(\displaystyle{ \left| U=1- x^{2} \right|}\) = \(\displaystyle{ (U ^{ \frac{1}{2} } )' \cdot U'}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}U ^{- \frac{1}{2} } \cdot (-2x)}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \frac{-2x}{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\) = \(\displaystyle{ \frac{-x}{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt{1+\left( \frac{-x}{ \sqrt{1-x ^{2} } }\right) ^{2} } \cdot dx}\) = \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt{1+ \frac{x ^{2} }{1-x ^{2} } } \cdot dx}\) = \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt{ \frac{1 }{1-x ^{2} } } \cdot dx}\)
I dalej nie wiem jak sobie mam poradzić z tą całką. Proszę o pomoc.

Popatrz:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)

Podstawienie

\(\displaystyle{ x=\sin t, dx=\cos t dt, x=0 \Rightarrow t=0, x=1 \Rightarrow t=\pi/2}\)
W mianowniku skorzystałem z jedynki trygonometrycznej.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos tdt}{ \sqrt{\cos ^{2}t } }=\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos tdt}{ \sqrt{\cos ^{2}t } }=\int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos tdt}{ \cos t }=\int_{0}^{\pi/2}dt}\)

Ewentualnie - jeśli nie chcesz postaci analitycznej:
1. całka, którą otrzymałeś, jest całką trywialną, znajdującą się w każdych tablicach matematycznych
2. proste spostrzeżenie, że funkcja jest łukiem koła o środku (0,0) i promieniu r=1, znajdującym się w pierwszej ćwiartce da obw. okręgu \(\displaystyle{ 2\pi}\), pomniejszony 4 krotnie.

Wywal pierwiastek do mianownika. Mogłeś to zrobić wcześniej przez wyciągnięcie kwadratu przed wyrażenie podcałkowe. Dostaniesz arcsin(x) i oczywiście policz go w granicach całkowania.
Końcowy wynik to \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{2}}\)

kajt3k pisze:Potrzebuję obliczyć długość krzywej funkcji \(\displaystyle{ f=\sqrt{1-x ^{2} }}\) na przedziale \(\displaystyle{ 0 \ge x \ge 1}\)

Za moich czasów wzoru na długość łuku okręgu uczono w szkole. Jeśli nie masz dodatkowego wymagania, żeby liczyć to za pomocą całki, to po co się męczyć?-- 2 kwi 2011, o 21:12 --A, i oczywiście nieprawda że \(\displaystyle{ 0\ge1}\), więc tak naprawdę tutaj mamy do policzenia długość niczego, czyli wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\).

ze wzoru na dlugosc krzywej L o podanych y(t) i x(t) i przedzial \(\displaystyle{ \left[x_1,x_2\right]}\) (tutaj \(\displaystyle{ y(t)=\sqrt{1-x^2}}\), \(\displaystyle{ x(t)=1}\), przedzial to \(\displaystyle{ \left[0,1\right]}\) )

\(\displaystyle{ L=\int_{x_1}^{x_2} \sqrt{ (y'(t))^2 + (x'(t))^2 } dt}\)

\(\displaystyle{ x'(t)=1}\)

\(\displaystyle{ y'(t)=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \int \sqrt{ (y'(t))^2 + (x'(t))^2 }dt = \int \sqrt{1+\frac{t^2}{1-t^2}} dt = \int \sqrt{\frac{1}{1-t^2}} dt = arcsin\frac{t}{\left|1\right|} =}\) \(\displaystyle{ arcsin(t)}\)

czyli

\(\displaystyle{ L=arcsin(1)-arcsin(0) = \frac{\pi}{2}}\)

norwimaj pisze:A, i oczywiście nieprawda że \(\displaystyle{ 0\ge1}\), więc tak naprawdę tutaj mamy do policzenia długość niczego, czyli wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\).

Dobre Ale Prima Aprilis był wczoraj.

leonek74 pisze:

norwimaj pisze:A, i oczywiście nieprawda że \(\displaystyle{ 0\ge1}\), więc tak naprawdę tutaj mamy do policzenia długość niczego, czyli wyjdzie \(\displaystyle{ 0}\).

Dobre Ale Prima Aprilis był wczoraj.

Po prostu nie przeczytałeś dokładnie treści. W chwili, gdy ją czytałeś, był tam warunek:

kajt3k pisze:\(\displaystyle{ 0 \ge x \ge 1}\)

Oczywiście żaden \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) nie czyni zadość obu tym nierównościom.