2 zadania optymalizacyjne - pytanie o poprawność

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
michary91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 5 lut 2010, o 14:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 11 razy

2 zadania optymalizacyjne - pytanie o poprawność

Post autor: michary91 » 1 kwie 2011, o 19:47

Witam
Czy ktoś może zerknąć okiem i wyjaśnić wątpliwości

1. W kulę o pow. S wpisano walec. Przy jakiej wys. objętość walca jest największa?
\(\displaystyle{ R= \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{S}{\pi} }}\)
\(\displaystyle{ f_{H} = \frac{1}{4} (SH-H^3 \pi)}\)
\(\displaystyle{ f_{H}' = \frac{1}{4} (S-3H^2 \pi)}\)
\(\displaystyle{ H= \sqrt{ \frac{S}{3 \pi} }}\)

2. Pole pow. bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa P. Jaka powinna być dł. krawędzi podstawy tego ostrosłupa, aby jego objętość była największa?
\(\displaystyle{ H= \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{P^2}{a^2} -a^2}}\)
\(\displaystyle{ f_{a}= \frac{1}{6}a^2 \sqrt{ \frac{P^2}{a^2} -a^2}}\)
I teraz pytanie czy mogę np to wszystko wbić pod pierwiastek i obliczyć największa wartość wyrażenia pod pierwiastkiem czy mam to wszytko robić po kolei.
Jeśli tak to wychodzi mi z tego \(\displaystyle{ a^2P^2-a^6}\):
\(\displaystyle{ f_{a}'=2aP^2-6a^5}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{ \frac{ \sqrt{3}P }{3} }}\)
ale w odp mam \(\displaystyle{ a=\sqrt{ \frac{ \sqrt{2}P }{2} }}\)
Czy gdzieś popełniam błąd???

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16289
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 3232 razy

2 zadania optymalizacyjne - pytanie o poprawność

Post autor: anna_ » 1 kwie 2011, o 20:15

1. jest dobrze
2. źle liczysz pochodzną. Nawet jak 'wbijesz' to pod pierwiastek, musisz liczyć pochodną pierwiastka, a nie tylko wyrażenia podpierwiastkowego

michary91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 5 lut 2010, o 14:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 11 razy

2 zadania optymalizacyjne - pytanie o poprawność

Post autor: michary91 » 1 kwie 2011, o 22:08

no to odnośnie 2 po kolei
Wychodzi mi taka pochodna:
\(\displaystyle{ f_{a}= \frac{1}{6}a^2 \sqrt{ \frac{P^2}{a^2} -a^2}}\)
\(\displaystyle{ f_{a}'= \frac{1}{6} (2a\sqrt{ \frac{P^2}{a^2} -a^2}+ \frac{a^2}{2\sqrt{ \frac{P^2}{a^2} -a^2}} )}\)
Czy dobrze? Czy czegoś nie brakuje?

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16289
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 3232 razy

2 zadania optymalizacyjne - pytanie o poprawność

Post autor: anna_ » 1 kwie 2011, o 22:29

licz jednak z tego:
\(\displaystyle{ f_{a}= \frac{1}{6}a^2 \sqrt{ \frac{P^2}{a^2} -a^2}}\)
\(\displaystyle{ f_{a}= \frac{1}{6}\sqrt{ P^2a^2 -a^6}}\)
\(\displaystyle{ f'_{a}= \frac{1}{6} \cdot \frac{2P^2a-6a^5}{2 \sqrt{ P^2a^2 -a^6}}= \frac{1}{6} \cdot \frac{2a(P^2-3a^4)}{2 a\sqrt{ P^2 -a^4}}= \frac{P^2-3a^4}{6\sqrt{ P^2 -a^4}}}\)

michary91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 5 lut 2010, o 14:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 11 razy

2 zadania optymalizacyjne - pytanie o poprawność

Post autor: michary91 » 1 kwie 2011, o 22:35

I teraz rozumiem że robię tak:
\(\displaystyle{ \frac{P^2-3a^4}{6\sqrt{ P^2 -a^4}}=0}\)
\(\displaystyle{ P^2-3a^4=0}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{ \frac{ \sqrt{3}P }{3} }}\)
Tak?

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16289
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 3232 razy

2 zadania optymalizacyjne - pytanie o poprawność

Post autor: anna_ » 1 kwie 2011, o 22:39

Kurcze znowu wyszło nie to co w odpowiedzi.

michary91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 205
Rejestracja: 5 lut 2010, o 14:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 11 razy

2 zadania optymalizacyjne - pytanie o poprawność

Post autor: michary91 » 1 kwie 2011, o 22:43

Ale odpowiedzi w mej książce mają to do siebie że są często niepoprawne...
Tak więc dzięki za dotychczasowa pomoc

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16289
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 3232 razy

2 zadania optymalizacyjne - pytanie o poprawność

Post autor: anna_ » 1 kwie 2011, o 22:46

Może pomylili 2 z 3.
Sprawdziłam jeszcze raz i nie widzę błędu.

ODPOWIEDZ