Matematyka.pl

Może pytania jest naiwne, banalne i w ogóle, ALE... skąd się bierze "dx" na końcu całki? Pewnie z jakiejś różncizki, ale jak dokłądnie to wyprowadzic/wsadzic tam na koniec?

Z góry dziękujęza odpowiedź i sorry za zawracanie głowy

Sumujesz takie malutkie prostokąciki, a dx to jest podstawa takiego małego prostokącika, dx--->0.Comprende?

No, nei bardzo... bo co to ma do zapisu ∫f(x) dx? Jak w ogóle dojśc do takiej postaci?

dy = y'dx i co z tego?

Jeżeli dx---->0 to pole tego prostokącika dązy do wartości funkcji (długości drugiego boku). A całkowanie to nieskończone sumowanie tych prostokącików. Znajdź sobie gdzieś geometryczną interpretację całki.

jpk2 pisze:dy = y'dx

\(\displaystyle{ y'=\frac{dy}{dx}\\
dy=y'dx\\
\int dy = \int y'dx\\
y=\int y'dx}\)

i wszystko.

Ja chcę dodać, że wystarczy potraktować ∫f(x)dx jako symbol jednolity reprezentujący granice.
Rzecz ma się podobnie jak w przypadku symbolu pochodnej według Leibniza. Przecież i jego można rozpatrywać jako symbol jednolity, ale jeśli ktoś chce może widzieć ułamek.

Ja bym Ci to wyjaśnił na kartce, rysując długopisem. Rysujesz sobie wykres funkcji i dzielsz go liniami prostymi na prostokąciki. Na osi OX odłożone odcinki mają długość Δx czyli przyrost argumentu xn+1 - xn. A wysokość prostokąta w punkcie xn = f(xn) itd. Czyli pole prostokąta = f(xn)•Δx. Jeśli podzielisz odcinek na osi OX (pod wykresem) na nieskończenie wiele równych odcineczków Δx (czyli Δx→0) to taki odcineczek nazwiemy sobie dx. A więc wtedy można przyjąć, że xn→xn+1 czyli argument nazwijmy x. A więc pole prostokącika (nieskończenie cienkiego (matematycy zabiją mnie za te wszystkie nieścisłości)) będzie wynosić f(x)•dx. Jeśli je zsumujemy od punktu x1 do punktu xk, a znak sumy zastąpimy znakiem całki (bo jest to suma ciągła - argument jest rzeczywisty - jego wzrost jest ciągły) to otrzymamy:

∫f(x)dx = pole pod wykresem od punku x1 do xk. Jeśli granice całkowania przyjmiemy od x1 do xk. To tak pobieżnie o całce oznaczonej. Całka nieoznaczona przedstawia zbiór funkcji (tzw. pierwotnych), których to różnica wartości dla argumentów xk i x1 daje całkę nieoznaczoną. Z tym polem pod wykresem to też nie jest takie proste (nie jest ono tożsame z całką oznaczoną) i obwarowane wieloma implikacjami.
Tak naprawdę całka oznaczona jest równa kresowi dolnemu sum górnych i kresowi górnemu sum dolnych pod warunkiem, że są sobie równe. Te sumy to ( w duzym uproszczeniu sumy prostokącików) .

Najlepiej bym Ci to wyjasnił na kartce, ale siedzę w kafejce internetowej..

Matematycy wybaczcie mi te nieścisłości..

mirecque, tylko, że to co napisałeś dotyczy całki oznaczonej.

wiem, ale na bazie interpretacji geometrycznej całki oznaczonej najłatwiej jest wytłumaczyć skąd się bierze symbol "dx". Jak ktoś już "poczuje" wyrażenie "dx" to zrozumie dogłębnie rachunek różniczkowy i całkowy. A najłatwiej jest przedstawić jego sens na przykładach "życiowych"