Matematyka.pl

Ciąg (\(\displaystyle{ a_{n}}\)) jest określony rekurencyjnie: \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_{1}=3\\a_{n+1}=4a_{n}+3\end{array}\right.}\)

Obicz \(\displaystyle{ a_{100}}\).

Zauważyłem, że wrór ogólny ciągu to: \(\displaystyle{ a_{n}=4^n-1}\), tylko nie wiem jak to teraz udowodnić???

Można idukcyjnie, można też tak:
Określmy ciąg \(\displaystyle{ \{\alpha_{n}\}}\) tak, że \(\displaystyle{ \alpha_{n} = a_{n} + 1}\)
Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\alpha_{1} = a_{1} + 1 = 4\\
\alpha_{n + 1} = a_{n + 1} + 1 = 4a_{n} + 4 = 4(a_{n} + 1) = 4\alpha_{n}\end{array}\right.}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \alpha_{n} = 4^{n-1}\cdot\alpha_{1} = 4^{n}}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ a_{n} + 1 = 4^{n}\\
a_{n} = 4^{n} - 1}\)
ctbw.