Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
s0ull
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 13 lis 2010, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: s0ull » 29 mar 2011, o 14:56

Witam, prosiłbym o pomoc z następującym zadaniem: Dane są punkty A=(2,0) i B=(6,2). Na prostej k: x-y=0 wyznacz taki punkt P, aby suma długości odcinków AP i BP była najmniejsza.

Awatar użytkownika
Errichto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1630
Rejestracja: 17 mar 2011, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suwałki

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: Errichto » 29 mar 2011, o 15:01

\(x-y=0\\y=x\) Czyli trzeci punkt ma współrzędne \((x,x)\) Policzmy sumę odległości: \((x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2\) Doprowadź do postaci \(ax^2+bx+c\). Będziesz miał parabolę z ramionami do góry. Ta odległość musi być jak najmniejsza czyli musisz złapać wierzchołek paraboli.

s0ull
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 13 lis 2010, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: s0ull » 29 mar 2011, o 22:25

Czyli można sobie te odległości podnieść do kwadratu? Bo własnie to było dla mnie problemem: nie bardzo wiedziałem co zrobić z pierwiastkami ze wzoru na dł. odcinka.

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: norwimaj » 29 mar 2011, o 22:37

Nie można niestety.-- 29 mar 2011, o 22:41 --To znaczy, pewien nie jestem czy wynik nie wyjdzie taki sam, ale nie widzę uzasadnienia, dlaczego tak by można było. Jeśli chcesz podpowiedź, to niech \(B'\) będzie obrazem punktu \(B\) w symetrii względem prostej \(x-y=0\). Znajdź odległość pomiędzy \(A\) a \(B'\).

s0ull
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 13 lis 2010, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: s0ull » 29 mar 2011, o 22:58

I będzie ona równa sumie odległości AP i BP?

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: norwimaj » 29 mar 2011, o 23:03

Będzie równa najmniejszej sumie odległości \(AP\) i \(BP\). To dlatego, że suma odległości \(AP\) i \(BP\) to to samo, co suma odległości \(AP\) i \(B'P\). A ta suma jest najmniejsza, gdy \(P\) leży na odcinku \(AB'\).-- 29 mar 2011, o 23:04 --Oczywiście to przy założeniu, że \(A\) i \(B\) leżą po tej samej stronie prostej. W tym zadaniu tak jest.

s0ull
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 13 lis 2010, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: s0ull » 29 mar 2011, o 23:34

Już rozumiem Dzięki serdeczne. Spotkałem się już kiedyś z takim rozwiązaniem, ale właśnie nie bardzo wiedziałem skąd się to bierze.

Awatar użytkownika
Errichto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1630
Rejestracja: 17 mar 2011, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suwałki

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: Errichto » 30 mar 2011, o 13:38

Nie opisałem tego, ale można tak robić. Odległość to \(\sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}\) i mamy znaleźć najmniejszą wartość. Zarówno pierwiastek jak i wyrażenie pod pierwiastkiem są dodatnie, także policzenie minimum z kwadratu odległości zawsze da nam poprawny wynik.

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: norwimaj » 30 mar 2011, o 13:45

Lecz czy minimalizowanie \(\sqrt{(x-2)^2+x^2}+\sqrt{(x-6)^2+(x-2)^2}\) to to samo, co minimalizowanie \(\sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}\)? W Twoim wynik wychodzi \(x=\frac{5}{2}\), a z moich geometrycznych rozważań mamy \(x=2\).

Awatar użytkownika
Errichto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1630
Rejestracja: 17 mar 2011, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suwałki

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: Errichto » 30 mar 2011, o 13:50

Ja minimalizuję \(\sqrt{(x-2)^2+x^2+(x-6)^2+(x-2)^2}\). A Ty co minimalizujesz? Sumę pierwiastków?

norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: norwimaj » 30 mar 2011, o 13:54

Tak, bo suma długości odcinków to jest suma pierwiastków.

Awatar użytkownika
Errichto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1630
Rejestracja: 17 mar 2011, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suwałki

Suma długości dwóch odcinków najmniejsza

Post autor: Errichto » 30 mar 2011, o 13:56

No racja. A ja tak jakby liczyłem odległość między punktami i w ogóle pomieszałem. Mój błąd.

ODPOWIEDZ