Matematyka.pl

Znaleźć domknięcie i wnętrze podzbioru \(\displaystyle{ S=\left\{ \frac{n!}{n ^{n}}:n \in \mathbb{N}\right\} }\) przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (\mathbb{R},d)}\). Uogólnić wynik.

a jak jest okrelona metryka \(\displaystyle{ d}\)?

pipol pisze:a jak jest okrelona metryka \(\displaystyle{ d}\)?

Zakładając że metryka standardowa,to jesli dobrze widzę 0 jest jedynym punktem skupienia tego zbioru, gdyż

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{n^n} =0}\)

d jest metryką naturalną w zbiorze liczb rzeczywistych

Wobec tego domknięcie to \(\displaystyle{ S\cup\{0\}}\), a wnętrze puste.

W metryce euklidesowej w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) każdy zbiór przeliczalny ma wnętrze puste, co wynika np. z twierdzenia Baire'a, chociaż takiej maszyny nie trzeba tu wytaczać Bo przecież niepustość wnętrza zbioru oznacza, że istnieje jakaś kula zawarta w tym zbiorze. Ale kula jest nieprzeliczalna, a zbiór był przeliczalny.

Możliwość uogólnienia: teza jest identyczna dla każdego ciągu zbieżnego. Niech \(\displaystyle{ S=\{a_n:n\in\mathbb{N}\}}\) oraz \(\displaystyle{ a=\lim_{n\to\infty}a_n}\). Wtedy z powyższej uwagi mamy \(\displaystyle{ \text{Int}\,S=\varnothing}\), a \(\displaystyle{ \text{cl}\,S=S\cup\{a\}}\).

Inne uogólnienie drugiej tezy z domknięciem to wspomniana uwaga o przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).

Czyli jakbyśmy mieli znaleźć domknięcie i wnętrze podzbioru \(\displaystyle{ S=\left\{ \frac{5 ^{n} }{n!}:n \in \mathbb{N}\right\} }\) przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (\mathbb{R},d)}\) to najpierw liczbę granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{5 ^{n} }{n!} = 0}\) więc domknięcie zbiou \(\displaystyle{ clS=S \cup \{0\}}\) natomiast wnętrze hmmm... \(\displaystyle{ {Int}\,S=\varnothing}\)
Tzn z tym wnętrzem nie wiem czy dobrze rozumiem. Skąd ja wiem czy ten zbiór jest przeliczalny ?

juyinkaaa91 pisze:. Skąd ja wiem czy ten zbiór jest przeliczalny ?

Bo indeksowanie masz poprzez zbiór liczb naturalnych, który jest przeliczalny.

Ja bym dał jako uogólnienie: \(\displaystyle{ \overline{A}=A \cup A^d}\)