Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie liczby całkowite k, dla których liczba \(\displaystyle{ k^{4}+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ k+4}\).


Wiem, że na pewno nie będzie to żadna liczba parzysta (bo każda liczba nieparzysta nie jest podzielna przez liczbę parzystą) oraz, że na pewno \(\displaystyle{ k}\) równe \(\displaystyle{ -3}\) lub \(\displaystyle{ -5}\) spełnia te warunki. Ale czy są jeszcze jakieś liczby całkowite spełniające podane kryteria?

Podziel te dwa wielomiany i przeanalizuj resztę.

W oczywisty sposób:

\(\displaystyle{ k+4|(k+4)(k-4)(k^{2}+16)=k^{4}-256}\)

Jeżeli ma być

\(\displaystyle{ k+4| k^{4}+1}\) to musi także zachodzić:

\(\displaystyle{ k+4| k^{4}+1-(k^{4}-256)=257}\)

Dalej łatwo