Matematyka.pl

Pięciu pasażerów wsiada do pustego tramwaju złożonego z trzech wagonów, przy czym
każdy wybiera losowo wagon. Oblicz prawdop, że przynajmniej jeden wagon zostanie pusty.


No wiec, na pewno wszelkich mozliwosci usadzenia jest \(\displaystyle{ 3 ^{5}}\) czyli 243, ale zastanawia mnie, jak policzyc moc zdarzenia A - czyli PRZYNAJMNIEJ jeden wagon zosatnie pusty.


Nie wychodzi mi zgodnie z odpowiedziami \(\displaystyle{ ( \frac{32}{81} )}\) dlatego, ze ja liczę tę moc z dwóch przypadków:

1) Jeden wagon pusty, czyli \(\displaystyle{ 3*2 ^{5} =96}\)
2) Dwa wagony puste, które wybieram na 3 sposoby.

W sumie moc zd. A to u mnie 99. Szukalem w internecie i wszedzie liczą moc A bez tego 2 przypadku. Dlaczego jest to bledne? Nie rozumiem, prosze o pomoc.

Już w 1) liczysz możliwości usadzenia tylko w 1 wagonie. Gdy wybierasz ten, który ma pozostać pusty, usadzasz ludzi w 2 pozostałych wagonach - ale zwróć uwagę, że liczysz też sytuację, gdy wszyscy wejdą do jednego z tych dwóch.

A ja jeszcze dodam od siebie, że podręcznikowa odpowiedź \(\displaystyle{ \frac{32}{81}}\) też jest zła - powinno być \(\displaystyle{ \frac{31}{81}}\). Dlatego, że nie tylko nie powinniśmy dodawać ilości sytuacji z 2). Powinniśmy je odjąć. Gdy w 1) ustalamy np. że wagon nr 1 pozostaje pusty, to liczymy między innymi sytuacje, gdy wszyscy do drugiego, a także wszyscy do trzeciego. Gdy ustalamy, że nr 2 jest pusty, to liczymy też sytuacje, gdy wszyscy do pierwszego; wszyscy do trzeciego. Nr 3 zostaje pusty -> wszyscy do 1; wszyscy do 2. Czyli dwukrotnie policzyliśmy sytuacje typu "wszyscy do jednego wagonu". Ich ilość musimy zatem odjąć.