Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int\sqrt{1-\frac{1}{x}}dx}\)

cośnie bardzo mi idzie moze jakies wskazówki?

proponowałbym podstawienie wyrażenia pod pierwiastkiem do nowej zmiennej t

\(\displaystyle{ t= 1- \frac{1}{x}}\)

Wtedy masz

\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{x^2}}\)
\(\displaystyle{ x^2dt=dx}\)

Z postawienia wyznaczasz x.
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{1+t}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1+t)^2}dt=dx}\)

Teraz wracamy do naszej całki i postawiamy co mamy:

\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{t}}{(1+t)^2}dt = t\sqrt{t}(1+t)^{-2}dt}\)

Dalej całkowanie przez części.
Jak byś znał wynik jakiego należy się spodziewać, to można by było się jakoś ukierunkować...
Powyższa propozycja oczywiście może się nie zgadzać.

albo tak:

\(\displaystyle{ t^2=1-\frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{1}{1-t^2}}\)

\(\displaystyle{ dx=\frac{2tdt}{(1-t^2)^2}}\)

i dochodzisz do całki funkcji wymiernej