Matematyka.pl

Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha :}\)

\(\displaystyle{ a) \tg \alpha = \sqrt{6}}\)

\(\displaystyle{ b) \tg \alpha = 2\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \tg\alpha= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\)

Wystarczy więc rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\sqrt6 \\ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \end{cases}}\)

A chociaż przykład a) mógłby ktoś rozwiązać dla przypomnienia? b) sobie zrobię sam tylko muszę zobaczyć mniej więcej jak to zacząć.

Przykład a:

Z drugim chyba dasz radę.

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \sqrt{6} \\
\tg \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }= \frac{ \sqrt{6} }{1} \\
\sin \alpha = \sqrt{6}\cos \alpha \\
\sin ^ {2} \alpha + \cos ^ {2} \alpha =1 \\
\left( \sqrt{6}\cos \right) ^{2} \alpha + \cos ^ {2} \alpha =1 \\
6 \cos ^ {2} \alpha + \cos ^ {2} \alpha =1 \\
7 \cos ^ {2} \alpha =1 \\
\cos ^{2}\alpha = \frac{1}{7} \\
\cos \alpha = \sqrt{ \frac{1}{7} }= \frac{1}{ \sqrt{7} } \cdot \frac{ \sqrt{7} }{ \sqrt{7} }= \frac{ \sqrt{7} }{7} \\
\cos \alpha = \frac{ \sqrt{7} }{7} \\
\sin \alpha = \sqrt{6} \cos \alpha \\
\sin \alpha = \sqrt{6} \cdot \frac{ \sqrt{7} }{7}= \frac{ \sqrt{42} }{7} \\
\sin \alpha = \frac{ \sqrt{42} }{7} \\
\ctg= \frac{1}{ \sqrt{6} }}\)

\(\displaystyle{ \tg=2 \sqrt{2} \\
\tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2 \sqrt{2} \\
\sin \alpha =2 \sqrt{2}\cos \alpha \\
\sin ^ {2} \alpha + \cos ^ {2} \alpha = \\
\left( 2 \sqrt{2}\cos \right) ^{2}+\cos{2} \alpha =1 \\
8 \cos ^ {2} \alpha + \cos ^ {2} \\
10 \cos ^ {2} \alpha =1 \\
\cos ^ {2} \alpha= \frac{1}{10} \\
\cos \alpha = \sqrt{ \frac{1}{10} }= \frac{ \sqrt{10} }{10} \\
\sin \alpha =2 \sqrt{2}\cos \\
\sin \alpha =2 \sqrt{2} \cdot \frac{ \sqrt{10} }{10}= \frac{ 2\sqrt{20} }{10}= \frac{ \sqrt{20} }{5}= \frac{ 2\sqrt{5} }{5} \\
\ctg \alpha = \frac{1}{2 \sqrt{2} }}\)