Matematyka.pl

Oblicz sumę rozwiązań równania \(\displaystyle{ cos\left( \frac{3 \pi }{2}-7x \right)+sinx=6sin\left( \pi +3x\right)}\) należących do przedziału \(\displaystyle{ \left[ - \frac{ \pi }{2};30 \right]}\).
Ja to zacząłem tak: \(\displaystyle{ -sin\left( 7x\right)+sinx=-6\left( 3x\right)}\), dalej: \(\displaystyle{ 6sin\left( 3x\right)-sin\left( 7x\right)+sinx=0}\), następnie:\(\displaystyle{ 6sin\left( 3x\right)+2sin \frac{x-7x}{2}cos \frac{8x}{2}}\), ... aż wreszcie \(\displaystyle{ cos4x=3}\), czyli brak rozwiązan, a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 135 \pi}\)

Dobrze robiłeś.
Ale otrzymujesz równanie:
\(\displaystyle{ 6sin 3x-2sin 3x cos 4x=0\\sin 3x(3-cos 4x)=0\\sin 3x=0\ \vee\ cos 4x=3\\cos 4x<1\\sin 3x=0\\3x=k \pi\\x=\frac{k \pi}{3}}\)

Otrzymujesz, jako zbiór rozwiązań ciąg arytmetyczny, w którym (uwzględniając założenie):
\(\displaystyle{ a_1=-\frac{\pi}{3}\\r=\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ k\cdot\frac{\pi}{3}\le30\\k\le28}\)
Mamy więc ciąg o 30 wyrazach (pierwszy ujemny, drugi równy 0 i 28 dodatnich)
\(\displaystyle{ a_{30}=-\frac{\pi}{3}+29\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{28}{3}\pi}\)

I suma tego ciągu skończonego:
\(\displaystyle{ S=\frac{-\frac{\pi}{3}+\frac{28}{3}\pi}{2}\cdot30=9\pi\cdot15=135\pi}\)