Strona 1 z 1
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 17:34
autor: gazda
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0}\frac{(n+1)!-n!}{(n+1)!+n!}}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0}\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n}}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{3^{n}}}}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0}\sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+...+a_{k}^{n}}}\)
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 17:40
autor: LecHu :)
1.
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to0}\frac{n!(n+1-1)}{n!(n+1+1)}=0}\)
2.Jak podstawisz za n 0 to wyjdzie 1.
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 18:11
autor: gazda
wlasnie w pierwszym mi wyszlo 1 a w ksiazce mam odpowiedz\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) pewnie sie w wydawnictwie pomylili:P, pomoze mi ktos z reszta?(:
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 18:16
autor: d(-_-)b
w pierwszym powinno wyjść \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to0}\frac{n!*n}{n!(n+2)}= \lim\limits_{n\to0}\frac{n}{n+2}=\lim\limits_{n\to0}\frac{n}{n(1+\frac{2}{n})}=\lim\limits_{n\to0}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}=0}\)
przyjrzyj się dokładnie to napisałeś Ty \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to0}\frac{n!(n+1-1)}{n!(n+1+1)}}\)
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 18:23
autor: LecHu :)
d(-_-)b to co napisałeś to nie to samo co podał gazda.
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 18:26
autor: gazda
d(-_-)b czemu tam ma byc 0 a nie 1?
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 18:34
autor: luka52
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to0}\frac{n!(n+1-1)}{n!(n+1+1)}=\lim\limits_{n\to0}\frac{n+1-1}{n+1+1} = 0}\)
bo n+1-1, gdy n->0 to 0+1-1.
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 18:37
autor: LecHu :)
Cały czas wydawało mi się, żę n--> nieskończoności. Sory.
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 18:41
autor: gazda
w morde strzelil ale pomylka, mialo byc oczywiscie n->nieskonczonosci
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 18:42
autor: d(-_-)b
2) \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to }\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n}}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{3^{n}}} =...}\)
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2}\)
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{3^{n}}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}}\)
korzystałem tu ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ S_n=\frac{a_1}{1-q}}\)
\(\displaystyle{ ...=\frac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}}\)
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 18:51
autor: LecHu :)
W ostatnim chyba granicą będzie \(\displaystyle{ a_{n}}\) jeżeli n--->∞
granica ciagow
: 26 gru 2006, o 18:58
autor: max
3.
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})^{n}} \leq \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + ... + a_{k}^{n}} \leq \sqrt[n]{k\cdot \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})^{n}}\\
\max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}) \leq \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + ... + a_{k}^{n}} \leq \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})\cdot\sqrt[n]{k}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to\infty } \sqrt[n]{k} = 1}\), to
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to\infty } \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})\cdot\sqrt[n]{k} = \lim\limits_{n \to\infty } \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}) = \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})}\)
Korzystając z tw o trzech ciągach otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+...+a_{k}^{n}} = \max(a_{1}, a_{2}, ..., a_{k})}\)