Matematyka.pl

Witam
Mam problem z obliczeniem sumy, można ująjc ze jest to znaleźenie n-tego wyrazu ciągu w postaci
\(\displaystyle{ a_n= {n \choose 0}(1-p)^n+ {n \choose 0}p^2(1-p)^{n-2}+...= \sum^{\frac{n}{2}}_{i=0} {n \choose 2i}p^{2i}(1-p)^{n-2i}}\)

z góry dziękuję za pomoc.

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ A_n(x)=\sum_{i} {n \choose 2i}x^{2i}\\
B_n(x)=\sum_{i} {n \choose 2i+1}x^{2i+1}}\)
Nietrudno się przekonać, że:
\(\displaystyle{ A_n(x)+B_n(x)= (1+x)^n}\)
oraz
\(\displaystyle{ A_n(x)-B_n(x)= (1-x)^n}\)
a stąd
\(\displaystyle{ A_n(x)=\frac{(1+x)^n+(1-x)^n}{2}}\)

Pozostaje więc zauważyć, że (dla \(\displaystyle{ p\neq 1}\)):
\(\displaystyle{ \sum_{i} {n \choose 2i}p^{2i}(1-p)^{n-2i}=(1-p)^n\cdot A_n\left( \frac{p}{1-p}\right)}\)

Q.