Matematyka.pl

liczbę \(\displaystyle{ 7-2 \sqrt{3}}\) zapisać za pomocą wzoru na różnicę kwadratów.

Całe zadanie wygląda tak:

Oblicz:

\(\displaystyle{ \sqrt{7-2 \sqrt{3}} - \left| \sqrt{3}-2\right|}\)

\(\displaystyle{ \left| \sqrt{3}-2\right|=(-\sqrt{3}+2)}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{7-2 \sqrt{3}}=?}\)

Rozpisanie wartości bezwzględnej bez problemu, ale żebym miał drugą WB z tego pierwiastka to musi być \(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2} }=\left| x\right|}\) prosił bym o pomoc bo już nie chcę marnować kolejnych kartek papieru mój nauczyciel nie rozumie tego ze nawet na maturze rozszerzonej nie będzie takich ciekawych przykładów...

\(\displaystyle{ (2- \sqrt{3}) ^{2} = 7-2 \sqrt{3}}\), ruszysz dalej sam?

\(\displaystyle{ (2- \sqrt{3}) ^{2}=4-4 \sqrt{3}+3=7-4 \sqrt{3}}\)

chyba nie tak nie jest to taki łatwy przykład

krzysiek_btk pisze:\(\displaystyle{ (2- \sqrt{3}) ^{2}=4-4 \sqrt{3}+3=7-4 \sqrt{3}}\)

chyba nie tak nie jest to taki łatwy przykład

Sorry za długo siedzę w pracy i mi sie we łbie miesza zaraz coś poradzimy

wczoraj od 23 do 3 na tym siedziałem i nic nie wydumałem, dziś tylko dostałem podpowiedz ze mam to być wzór na różnice kwadratów, tylko jakoś mi to nie pasuje, bo jak by to niby puzniej wyciagnac z pod pierwiastka? \(\displaystyle{ a^{2}- b^{2}}\) jest różnicą a pierwiastków z różnicy czy sumy nie wyciągamy... \(\displaystyle{ (a-b)(a+b)}\) też bardzo nam nic nie da bo zostanie to pod pierwiastkiem

Różnica kwadratów, no to:

\(\displaystyle{ 7-2 \sqrt{3}= (\sqrt{7})^2 - (\sqrt[4]{12})^2 = (\sqrt{7}-\sqrt[4]{12})(\sqrt{7}+\sqrt[4]{12})}\)

Jeżeli chcesz kwadrat różnicy to chyba się nie da, dowód:

Z kwadratem różnicy już dawno dałem sobie spokój. No to mamy 2 nawiasy ale dalej nic z tym nie zrobimy... Jak to dalej zrobić by z pod pierwiastka wyciągnąć WB

Najprawdopodobniej Twój nauczyciel się pomylił i zamiast \(\displaystyle{ 7-4\sqrt{3}}\) napisał \(\displaystyle{ 7-2\sqrt{3}}\)

Pozdrawiam.

krzysiek_btk pisze:Z kwadratem różnicy już dawno dałem sobie spokój. No to mamy 2 nawiasy ale dalej nic z tym nie zrobimy... Jak to dalej zrobić by z pod pierwiastka wyciągnąć WB

Zrobić się to da ale ładne to nie jest, pokaże ci początek:

szukamy liczb rzeczywistych a,b takich ze\(\displaystyle{ (a-b \sqrt{3}) ^{2} =7-2 \sqrt{3}}\)

po przekształceniach \(\displaystyle{ (a ^{2}+3b ^{2})-2ab \sqrt{3} =7-2 \sqrt{3}}\)

i układ równań \(\displaystyle{ a ^{2} +3b ^{2}=7}\)
\(\displaystyle{ ab=1}\)

ma rozwiązania rzeczywiste. Jak się nie machnąłem to mozna przyjąć \(\displaystyle{ a ^{2} = \frac{7+ \sqrt{35} }{2}}\) i ciągnąć to dalej, ale jest szansa ze tu byla pomylka

Vax pisze:Najprawdopodobniej Twój nauczyciel się pomylił i zamiast \(\displaystyle{ 7-4\sqrt{3}}\) napisał \(\displaystyle{ 7-2\sqrt{3}}\)

Pozdrawiam.

Niestety mój nauczyciel jest nie omylny, i mogę Cie o tym zapewnić

-- 16 mar 2011, o 21:09 --

Psiaczek pisze:

krzysiek_btk pisze:Z kwadratem różnicy już dawno dałem sobie spokój. No to mamy 2 nawiasy ale dalej nic z tym nie zrobimy... Jak to dalej zrobić by z pod pierwiastka wyciągnąć WB

Zrobić się to da ale ładne to nie jest, pokaże ci początek:

szukamy liczb rzeczywistych a,b takich ze\(\displaystyle{ (a-b \sqrt{3}) ^{2} =7-2 \sqrt{3}}\)

po przekształceniach \(\displaystyle{ (a ^{2}+3b ^{2})-2ab \sqrt{3} =7-2 \sqrt{3}}\)

i układ równań \(\displaystyle{ a ^{2} +3b ^{2}=7}\)
\(\displaystyle{ ab=1}\)

ma rozwiązania rzeczywiste.

\(\displaystyle{ a ^{2} +3b ^{2}=7}\)

\(\displaystyle{ ab=1}\)

\(\displaystyle{ b= \frac{1}{a}}\)

\(\displaystyle{ a ^{2} +3(\frac{1}{a}) ^{2}=7}\)

\(\displaystyle{ a ^{2} +3\frac{1}{ a^{2} }=7}\)

\(\displaystyle{ a ^{2} +\frac{3}{ a^{2} }=7}\)

\(\displaystyle{ a^{4}-7a^{2}+3=0}\)

tak czy gdzieś coś zwaliłem?
zmienna \(\displaystyle{ t=a^{2}}\) i poszedł dalej...

brzydki pierwiastek z delty\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{37}}\)

Psiaczek pisze: i układ równań \(\displaystyle{ a ^{2} +3b ^{2}=7}\)
\(\displaystyle{ ab=1}\)

Skąd wyszedł ten układ równań?

krzysiek_btk pisze: Niestety mój nauczyciel jest nie omylny, i mogę Cie o tym zapewnić

Chciałabym w takim razie zobaczyć rozwiązanie tego zadania podane przez Twojego nauczyciela.

kamil13151 pisze:

Psiaczek pisze: i układ równań \(\displaystyle{ a ^{2} +3b ^{2}=7}\)
\(\displaystyle{ ab=1}\)

Skąd wyszedł ten układ równań?

To co jest po lewej stronie równania, musi być równe temu po prawej tj. po prawej stronie przy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) stoi \(\displaystyle{ -2}\) więc z lewej strony też musi stać \(\displaystyle{ -2}\) czyli \(\displaystyle{ -2ab=-2}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ ab=1}\) i analogicznie z drugim równaniem

nmn pisze:

krzysiek_btk pisze: Niestety mój nauczyciel jest nie omylny, i mogę Cie o tym zapewnić

Chciałabym w takim razie zobaczyć rozwiązanie tego zadania podane przez Twojego nauczyciela.

Też bym chciał lecz to jest typ nauczyciela: zadanie dopiero później definicja on tylko podaje treści zadań i stawia oceny, a Ty młody człowieku zamiast kożystac z życia to siedzisz w domu i robisz setki zadań -- 17 mar 2011, o 19:24 --dostałem następną wskazówkę od nauczyciela, w nawiasach wzóru na różnice kwadratów mają być wzory na na kwadrat różnicy lub sumy: \(\displaystyle{ (a^{2}-2ab+b^{2})(a^{2}+2ab+b^{2}) \Rightarrow ((a-b)^{2})((a+b)^{2})}\) ale i tak dalej nie mam zielonego pojęcia jak do tego dojść. Wtedy jak wyciągniemy takie nawiasy z pod pierwiastka to zaostanie nam \(\displaystyle{ \left|a-b\right|*\left|a+b\right|}\) i to w tedy rozwiązujemy na szybko

\(\displaystyle{ \left|a-b\right|*\left|a+b\right|=\left|(a-b)*(a+b)\right|}\)