Matematyka.pl

Dla jakiego p ciag jest zbiezny, zbiezny warunkowo i rozbiezny
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} \frac {(-1)^{n}}{n^{p}}}\)
Rozbilem ciag na czesc dodatnia, i ujemna, i potraktowalem calka, ale jakos nie wiem co zrobic dalej. 'Widac, ze ciag jest rozbiezny dla p<0 i zbiezny dla p>1, ale jakos nie wiem, jak to pokazac.

Z gory dzieki za pomoc.
Tomek.

Dla \(\displaystyle{ p>1}\) szereg\(\displaystyle{ \sum \frac{1}{ n^{p} }}\) jest zbieżny (z właściowści szeregu harmonicznego), więc \(\displaystyle{ \sum (-1)^n\frac{1}{ n^{p} }}\) też jest zbieżny
dla \(\displaystyle{ p \le 0}\) szereg ma postać \(\displaystyle{ \sum (-1)^nn^{-p} },\; \lim_{ n\to \infty } (-1)^nn^{-p} \neq 0 \;,\lim_{ n\to \infty } n^{-p} \neq 0}\), czyli szereg jest rozbieżny,
dla \(\displaystyle{ 0<p \le 1}\) mamy szereg naprzemienny o malejących wyrazach i \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{1}{n^{p}} =0}\) i szereg jest zbieżny na podstawie kryterium Leibnitza