suma w ciągu geometrycznym

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 20 gru 2006, o 22:34

W rosnącym ciągu geometrycznym \(\displaystyle{ (a_n)}\) dane są: \(\displaystyle{ S_{2n}=63}\), \(\displaystyle{ S_{3n}=511}\). Wyznacz \(\displaystyle{ S_n}\).
Od czego tutaj można zacząć?

sushi · Post autor: **sushi** » 20 gru 2006, o 23:04

zapisz z definicji wzór na \(\displaystyle{ S_{2n} \; i \; S_{3n}}\)
i potem trzeba troche poprzekształcać i wyjdzie jakaś zaleznośc miedzy a1i q

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 20 gru 2006, o 23:09

sushi pisze:zapisz z definicji wzór na \(\displaystyle{ S_{2n} \; i \; S_{3n}}\)
i potem trzeba troche poprzekształcać i wyjdzie jakaś zaleznośc miedzy a1i q

no właśnie nad tym myślałem tylko nie wiem czy dobrze
\(\displaystyle{ S_{2n}=a_1\frac{1-q^2}{1-q}\\S_{3n}=a_1\frac{1-q^3}{1-q}}\)
o takie coś chodzi?

Post autor: **max** » 20 gru 2006, o 23:10

Zauważ, że \(\displaystyle{ S_{3n} - S_{2n} = aq^{2n} + aq^{2n+1} +...+aq^{3n-1}}\)

sushi · Post autor: **sushi** » 20 gru 2006, o 23:11

a jaki jest wzór a1+a2+...+ an ??? na sume ??

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 20 gru 2006, o 23:12

sushi pisze:a jaki jest wzór a1+a2+...+ an ??? na sume ??

\(\displaystyle{ S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}}\)

sushi · Post autor: **sushi** » 20 gru 2006, o 23:13

\(\displaystyle{ S_{2n}=a_1\frac{1-q^{2n}}{1-q}\\S_{3n}=a_1\frac{1-q^{3n}}{1-q}}\)

potem wyliczasz a1 z pierwszego równania i podstawiasz do drugiego , wyjdzie wielomian zalezny od "q" (albo liczysz a1 z 2 i do 1 wstawiasz)

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 20 gru 2006, o 23:14

a no tak właśnie o n zapomniałem... i co dalej z tym? taki układ równań rozwiązać? ale chyba w tym problem że nie braliśmy równań wykładniczych :/

sushi · Post autor: **sushi** » 20 gru 2006, o 23:20

to podstaw liczby i napisz to co powiedziałem na kompie

[ Dodano: 20 Grudzień 2006, 23:23 ]
\(\displaystyle{ 1^2-q^{2n}= (1-q^n)(1+q^n)}\)
\(\displaystyle{ 1^3-q^{3n}= (1-q^n)(1+ q^n+q^{2n})}\)

\(\displaystyle{ \frac{63(1-q)}{(1-q^n)(1+q^n)}=a_1}\)
\(\displaystyle{ \frac{511(1-q)}{(1-q^n)(1+q^n+ q^{2n})}=a_1}\)

\(\displaystyle{ \frac{63(1-q)}{(1-q^n)(1+q^n)}= \frac{511(1-q)}{(1-q^n)(1+q^n+ q^{2n})}=}\)

\(\displaystyle{ \frac{9}{(1+q^n)}= \frac{73}{(1+q^n+ q^{2n})}=}\)

\(\displaystyle{ q^n=====t}\) pomnozyć na krzyża i równanie kwadratowe

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 20 gru 2006, o 23:25

\(\displaystyle{ S_{3n}=511=\frac{63(1-q)(1-q^{3n}}{(1-q^{2n})(1-q)}}\)
i co teraz?

sushi · Post autor: **sushi** » 20 gru 2006, o 23:33

wyliczyłeś ile jest t===??

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 20 gru 2006, o 23:37

tak
\(\displaystyle{ t_1=8 t_2=-\frac{8}{9}}\)

sushi · Post autor: **sushi** » 20 gru 2006, o 23:41

teraz potrzebne jest a1 i q ??- z czego to znaleźć

[ Dodano: 20 Grudzień 2006, 23:43 ]
wstawiasz do wzorów S2n i S3n za q^n najpierw 8 i masz układ 2x2

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 20 gru 2006, o 23:43

podstawić do wzoru na \(\displaystyle{ S_2}\) ?

sushi · Post autor: **sushi** » 20 gru 2006, o 23:48

\(\displaystyle{ 63=a_1\frac{1-8^{2}}{1-q}\\511=a_1\frac{1-8^{3}}{1-q}}\)
a potem podstawiasz -8/9 jak Ci wyszło