Matematyka.pl

Udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ c>\frac{8}{3}}\) istnieje liczba rzeczywista \(\displaystyle{ x}\) taka, że \(\displaystyle{ \left[ x^{c^n}\right]}\) jest liczbą pierwszą dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) całkowitego dodatniego.

(Nawiasy to część całkowita)

Kiedyśłem wzór jawny tzn ciąg na ntą liczbę pierwszą i wydaje mi się że ten wzór byłby kluczem
do zadania.
Ale nie mogę tego wzoru nigdzie znaleźdź na internecie.
Pamiętam tylko że razy byłżty symbol część całkowita liczby!!

arek1357, chodzi Ci o to 159928.htm#p624705 ?

Wystarczy (!) pokazać, że dla każdej stałej \(\displaystyle{ t> \frac{5}{8}}\) dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) pomiędzy \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ n+n^t}\) można znaleźć jakąś liczbę pierwszą.

Własnie o ten wzór mi chodziło już go dokładnie nie pamiętam ale chyba to jest to.
Dziwne tyl;ko że zwykle się spotykałem z opinią że wzorów jawnych na kolejne liczby pierwsze nie ma...
ale jak widać są i chyba dobrze-- 25 marca 2011, 22:32 --Dzięki Ordyh za link

To nie jest wzór jawny :>

Jak to niejawny a co pierwszemu wzorowi brakuje do jawności?? jest wzór na pn i tyle

To będzie jakieś rozwiązanie tego zadania czy nie?

Do kogo to pytanie jest skierowane ?

Zapewne do tych którzy potrafią je rozwiązać

Przynajmniej potwierdza, że lemat, do którego XMaS11 sprowadził zadanie jest prawdziwy.

Mianowicie chodzi o występujące w artykule asymptotyczne (dla dowolnego \(\displaystyle{ \theta > \frac{5}{8}}\) i odpowiednio dużych \(\displaystyle{ x}\)) oszacowanie wyrażenia \(\displaystyle{ \pi(x+x^{\theta})-\pi(x)}\) ( po prostu liczby liczb pierwszych pomiędzy \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ x+x^{\theta}}\)) jako \(\displaystyle{ \frac{x^{\theta}}{\log{x}}}\), co dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ x}\) przekracza żądane 1.

No to najpierw spróbujcie pokazać Czebyszewa, czyli, że między n a 2n leży liczba pierwsza, a potem potem możecie się brać za takie rzeczy xD.

No i gdyby udało się dowieść tego lematu, to polecam sprawdzić, czy wymyślony dowód nie działa przypadkiem też dla \(\displaystyle{ t=\frac{4}{8}}\), bo wtedy dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) mielibyśmy co najmniej jedną liczbę pierwszą pomiędzy \(\displaystyle{ n^2}\) a \(\displaystyle{ (n+1)^2}\), co jak na razie jest tylko nierozstrzygniętą hipotezą