Matematyka.pl

Witam!

Wyznacz te wartości parametru m, dla których pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}}\), \(\displaystyle{ x _{2}}\) równania \(\displaystyle{ 2 x^{2}-2(2m+1)x+m(m-1)=0}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x_{1}<m<x _{2}}\).

Zrobiłem to zadanie rozwiązując:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0\\f(m)<0\end{cases}}\)

Jednakże początkowo próbowałem rozwiązać następująco: \(\displaystyle{ x_{1}+x _{2}=2m+1}\)
\(\displaystyle{ x_{1}<m \wedge x _{2}>m}\)
\(\displaystyle{ x _{1}=2m+1-x _{2}<m}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=2m+1-x _{1}>m}\)

\(\displaystyle{ \Delta>0 \wedge \begin{cases} x_{1}<m+1\\x_{2}>m+1\end{cases}}\)

Tym sposobem niestety mi nie wychodzi komplentnie. Próbowałem ze 3 razy, nie wydaje mi się, abym się pomylił, a sposób wydaje mi się poprawny. Mógłby mi ktoś wyjaśnić, gdzie jest błąd?

A jak chciałeś rozwiązać układ (ten ostatni) tych nierówności.

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{2m ^{2}+6m+1} >0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta`}=2 \sqrt{7}}\)
\(\displaystyle{ \Delta>0}\) dla \(\displaystyle{ m \in (- \infty ; \frac{-3- \sqrt{7} }{2}) \cup (\frac{-3+ \sqrt{7} }{2}; \infty )}\)
\(\displaystyle{ x_{1}= \frac{2(2m+1)-\sqrt{2m ^{2}+6m+1}}{4}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{2(2m+1)+\sqrt{2m ^{2}+6m+1}}{4}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{2(2m+1)-\sqrt{2m ^{2}+6m+1}}{4}<m+1\\ \frac{2(2m+1)+\sqrt{2m ^{2}+6m+1}}{4}>m+1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2(2m+1)-\sqrt{2m ^{2}+6m+1}<4m+4\\2(2m+1)+\sqrt{2m ^{2}+6m+1}>4m+4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{2m ^{2}+6m+1}>-2\\ \sqrt{2m ^{2}+6m+1}>2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \in D \\ 2m ^{2}+6m+1>4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} m \in D \\ 2m ^{2}+6m-3>0\end{cases}}\)
... Tylko właśnie nie wychodzi, bo pierwiastki itd. a powinno wyjść \(\displaystyle{ m \in (- \infty ;-3) \cup (0; \infty )}\). Tak mi wychodzi pierwszym sposobem i taka jest odpowiedź.

Które to \(\displaystyle{ x_1}\) jest rzeczą umowną, zatem są dwie wersje takiego rozwiązania.

Nie widzę błędu - ale strasznie się nie wpatrywałem.