Matematyka.pl

Nie potrafię sobie poradzić z zadaniami z przekształceń odwrotnych. Będę wdzięczny za każdą pomoc.

1. Załóżmy, że przekształcenia (niekoniecznie liniowe) \(\displaystyle{ S,T : R^3 \rightarrow R^3}\) są odwracalne. Uzasadnij, że wtedy przekształcenie \(\displaystyle{ S \circ T}\) jest też odwracalne i że \(\displaystyle{ (ST)^{-1} = T^{-1} \circ S^{-1}}\).

2. Uzasadnij, że jeśli przekształcenie \(\displaystyle{ T: R^3 \rightarrow R^3}\) jest odwracalne i jednorodne, to przekształcenie odwrotne \(\displaystyle{ T^{-1}}\) jest też jednorodne.

3. Znajdź przekształcenia odwrotne do poniższych przekształceń, oraz uzasadnij na podstawie definicji, wyliczając odpowiednie złożenia, że są one odwrotne.

a) jednokładność \(\displaystyle{ J_r(X) = rX}\) (nie korzystając ze współrzędnych)
b)symetria \(\displaystyle{ S_{xy}}\) względem płaszczyzny \(\displaystyle{ Oxy}\)

1. \(\displaystyle{ (T\circ S)\circ (T^{-1} \circ S^{-1} ) =\mbox{Id}_{\mathbb{R}^3 }}\) oraz
\(\displaystyle{ (T^{-1} \circ S^{-1} )\circ (T\circ S) =\mbox{Id}_{\mathbb{R}^3 }}\)
2. Załóżmy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}^3 , 0 \neq \xi \in\mathbb{R}}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ f(\xi x ) =\xi f(x).}\) Niech \(\displaystyle{ f^{-1} :\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) i niech \(\displaystyle{ f^{-1} (y) =x}\) , weźmy \(\displaystyle{ 0 \neq \xi \in \mathbb{R}}\), mamy wtedy
\(\displaystyle{ f^{-1} (\xi y ) =z \Leftrightarrow f(z) =\xi y \Leftrightarrow \frac{1}{\xi } f(z)=y \Leftrightarrow f\left(\frac{z}{\xi } \right) =y \Leftrightarrow z=\xi x}\) a to oznacza, że \(\displaystyle{ f^{-1} (\xi y ) =z =\xi x =\xi f^{-1} (y).}\)

Można prosić o jakieś wytłumaczenie do tych zadań? Za wiele nie zrozumiałem.