Matematyka.pl

Chciałbym doprowadzić dwa poniższe wzory do postaci typu \(\displaystyle{ \frac{n\left( 2n+1\right) }{2}}\) Czy jest to możliwe ?

\(\displaystyle{ n \ - \ parzyste \Rightarrow a _{n}= \sum_{k=1}^{ \frac{n}{2} }(1+ 2k)k\\ n \ - \ nieparzyste \Rightarrow a _{n}= \sum_{k=0}^{ \frac{n-1}{2} }(1+ 2k)(1+ k)}\)

Oczywiście, że jest możliwe

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} (2k^2+k) = 2\sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} k^2 + \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} k = 2 \cdot \frac{\frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1)(n+1)}{6} + \frac{\frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1)}{2} = \frac{\frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1)(n+1)}{3} + \frac{\frac{n}{2}(\frac{n}{2}+1)}{2} = ... = \frac{n(n+2)(2n+5)}{24}}\)

2 przykład analogicznie.

Pozdrawiam.

Twój ciąg można zapisać rekurencyjnie tak:

\(\displaystyle{ a _{1}= 1\\
a _{2}= 3\\
n>2 \Rightarrow a _{n}= a _{n-2}+ \frac{(1+n)n}{2}}\)

Vax, czy mógłbyś wyjaśnić mi w jaki sposób rozbiłeś sigmy?
Powiedzmy, że mamy już tak:
\(\displaystyle{ 2 \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} k^2 + \sum_{k=1}^{\frac{n}{2}} k =
2(1^2 + 2^2 + ... + \frac{n^2}{4}) + (1 + 2 + ... + \frac{n}{2})}\)
No i teraz jak wpadłeś, że to jest:
\(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{\frac{n}{2}(\frac{n}{2} + 1)(n + 1)}{6} + \frac{\frac{n}{2}(\frac{n}{2} + 1)}{2}}\)

Są to znane wzory na sumy liczb i kwadratów liczb. Udowodnić można je indukcyjnie a wyprowadzić np. tak.