Matematyka.pl

Witam ponownie
Mam do rozwiązania 2 zadanka z liczb zespolonych, za które, powiem szczerze, kompletnie nie wiem jak się zabrać. Czy ktoś mógłby pomóc?
1. Oblicz:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}-i ) ^{12}}\)

2. Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ z ^{2}-3=4i}\)

Bardzo proszę o kolejne kroki rozwiązania, tak żebym potem mogła analogicznie rozwiązać podobne przykłady, bo na chwilę obecną nie mogę tego ogarnąć

Zad 1
Zamień na postać trygonometryczną, wtedy jest łatwiej podnosić liczby zespolone do dowolnej potęgi.

1. Sposób pierwszy:
\(\displaystyle{ (\sqrt3-i)^{12}=2^{12}(\cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6})^{12}=
2^{12}(\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi))=2^{12}}\)
Sposób drugi: Zacisnąć zęby i policzyć. W końcu to tylko cztery mnożenia.


2. Sposób pierwszy:
\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=3+4i}\)
\(\displaystyle{ a^2-b^2=3\qquad\text{oraz }\qquad 2ab=4}\)
Dodatkowo przykładamy wartość bezwzględną do drugiej równości:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=5}\)
Otrzymujemy natychmiast, że \(\displaystyle{ z=\pm(2+i)}\)
Sposób drugi: Zgadnąć, na przykład \(\displaystyle{ 3+4i=4+4i+i^2}\) i zwijamy do kwadratu.

norwimaj pisze: Dodatkowo przykładamy wartość bezwzględną do drugiej równości:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=5}\)

Dzięki serdeczne, wszystko jest dla mnie jasne i bardzo czytelne poza wskazaną powyżej linijką. Mógłbyś rozjaśnić?

Trochę wyżej mamy równość \(\displaystyle{ (a+bi)^2=3+4i}\).
Wartość bezwzględna lewej strony jest równa \(\displaystyle{ |(a+bi)^2|=|a+bi|^2=a^2+b^2}\).
Wartość bezwzględna prawej strony to \(\displaystyle{ 5}\). Stąd otrzymujemy równość
\(\displaystyle{ a^2+b^2=5}\).

Podziękowawszy serdecznie