Strona 1 z 1
[Nierówności][Trygonometria] Nierówność trygonometryczna.
: 10 mar 2011, o 20:39
autor: laurelandilas
Udowodnij, że dla każdego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) spełniona jest nierówność:
(\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos^{3} \alpha) ^{4} \le sin ^{6} \alpha + cos ^{6} \alpha}\)
[Nierówności][Trygonometria] Nierówność trygonometryczna.
: 10 mar 2011, o 21:40
autor: JakimPL
Bardzo lubię tego typu zadania . Żeby nie pisać zbyt wiele:
\(\displaystyle{ s^n = \sin^n \alpha \\ c^n = \cos^n \alpha \\ t^n = \left(\sin \alpha \cos\alpha\right)^n \\ s^2 + c^2 = 1 \\ s^6 + c^6 = (s^2+c^2)^3 - 3 s^4 c^2 - 3 s^2 c^4 = 1 - 3 t^2 (s^2+c^2)= 1 - 3 t^2}\)
[Nierówności][Trygonometria] Nierówność trygonometryczna.
: 10 mar 2011, o 21:53
autor: laurelandilas
Jesteś pewny dwóch ostatnich linijek ?
[Nierówności][Trygonometria] Nierówność trygonometryczna.
: 10 mar 2011, o 21:58
autor: JakimPL
Sprawdzałem kilka razy. Błędu nie widzę, chociaż ciężko się nie pogubić przy tylu wyrażeniach.
[Nierówności][Trygonometria] Nierówność trygonometryczna.
: 10 mar 2011, o 22:21
autor: binaj
niech \(\displaystyle{ x=sin\alpha, y=cos\alpha}\)
mamy, że \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), chcemy pokazać, że:
\(\displaystyle{ (x^3+y^3)^4 \le (x^6+y^6)}\), ale:
\(\displaystyle{ (x^6+y^6)=(x^6+y^6)(x^2+y^2)(x^2+y^2)^2 \ge (x^4+y^4)^2(x^2+y^2)^2 \ge(x^3+y^3)^4}\)
po drodze korzystamy z CSa