Matematyka.pl

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n>1}\) dla których liczba \(\displaystyle{ n^2-1}\) jest pierwsza.

Podpowiedź:
\(\displaystyle{ n^2-1 = (n-1)(n+1)}\)

Ja zapisałem to w następujący sposób:

\(\displaystyle{ p=n^2-1=(n-1)(n+1)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} n-1=1\\n+1=p\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ n=2,p=3}\)

Dla \(\displaystyle{ n=12}\) też będzie liczba pierwsze. Z układu tak mi nie wyszło.

Mam rozumieć, że twierdzisz, że \(\displaystyle{ 143}\) jest liczbą pierwszą?

Hmm... OK. Liczba 143 nie jest liczbą pierwszą. Mój błąd. Czyli mam rozumieć, że zadanie zostało poprawnie rozwiązane?

A czy nakierowałbyś mnie na rozwiązanie następującego zadania:
Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\), dla których:
a) \(\displaystyle{ 3p+1}\) jest pierwsza
b) \(\displaystyle{ p^2+2}\) jest pierwsza

a) Jeżeli \(\displaystyle{ p}\) jest nieparzysta, to jaką liczbą jest \(\displaystyle{ 3p+1}\)?
b) Jakie reszty dają kwadraty liczb naturalnych w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\)?