Matematyka.pl

Witam
W sobotę tj 12.03.2011r ma się odbyć etep powiatowy w/w konkursu. Chciałbym się do tego jakoś przygotować, dlatego proszę Was o zadania z poprzednich lat poziom II, ewentualnie napiszcie jak przygotować się do etapu powiatowego.
Znalazłem tylko te zadania:

1.Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c spełniających warunek a+b+c=1, prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\)+\(\displaystyle{ \frac{1}{b}}\)+\(\displaystyle{ \frac{1}{c}}\)\(\displaystyle{ \ge}\)9

2.W trójkącie równoramiennym ramię jest 2 razy dłuższe od podstawy. Suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie jest równa 11. Oblicz długość podstawy trójkąta.
3.Wiadomo, że trawa na całym polu rośnie jednakowo gęsto i szybko. 60 krów zjada trawę w ciągu 24 dni, 30 krów zjada trawę w ciągu 60 dni. Ile krów zje trawę w ciągu 100 dni?
4.Oblicz długości boków trapezu wpisanego w półokrąg o średnicy długości 50 wiedząc, że średnica ta jest dłuższą podstawą trapezu, zaś suma długości trzech pozostałych boków trapezu jest równa 74.
5.Supermarket sprzedając jabłka w cenie 3 zł za kilogram, dziennie sprzedawał 400kg. Zauważono, że przy obniżce ceny o każde 10gr sprzedaż rośnie o 100kg. Supermarket kupuje jabłka od sadownika po 1,20zł za kg, a inne koszty(magazynowanie, utrzymanie stoiska, itp.) przypadające na 1kg jabłek wynoszą 20gr. Przy jakiej cenie jabłek dzienna sprzedaż przyniesie największy zysk?
EDIT: W 2 ma być\(\displaystyle{ 2\sqrt{15}}\) a w 4 (34,34,20) lub (30,30,14)??
Czy macie do nich odpowiedzi?

Zadania z dzisiaj (12 marca 2011) Etap powiatowy Poziom 1

1. Kasjerka poukładała banknoty w n paczek, po k banknotów w każdej. Gdyby do każdej paczki włożyła o 2 banknoty więcej, to byłoby dokładnie o 3 paczki mniej. Gdyby natomiast dawała o 5 banknotów mniej, to musiałbym zrobić o 11 paczek więcej. Ile było wszystkich pieniędzy, jeśli każdy banknot miał nominał 20 zł.

2. Z przeciwległych wierzchołków prostokąta poprowadzono odcinki prostopadłe do przekątnej. Odcinki te podzieliły przekątną na trzy równe części, każda o długości 2 cm. Oblicz długości boków tego prostokąta.

3. Wykaż, że liczba 120 dzeili liczbę \(\displaystyle{ n^{5}-5n^{3}+4n}\)

4. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trapezie równoramiennym, którego ramię ma długośc \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\), a podstawy są równe odpowiednio 6 i 4.

5. Oblicz: \(\displaystyle{ (2- \sqrt{3})^{8} +(2+\sqrt{3})^{8}}\)

Zadania poziom II
1. Wykaż, że jeżeli dwie liczby całkowite a i b spełniają warunki: 17 jest dzielnikiem liczby a-7 i 17 jest dzielnikiem liczby b-6 to 17 jest dzielnikiem liczby 2a+3b+2
2. Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2}+y ^{2} -6\left|x-y \right|+13=0 \\ xy=-2 \end{cases}}\)
3. Udowodnij, że jeżeli stosunek rozwiązań równania kwadratowego\(\displaystyle{ ax ^{2} +(a+b)x+b-a=0 (a \neq 0)}\)wynosi 4:1, to \(\displaystyle{ 29a ^{2}-17ab+4b ^{2} =0}\).
4. W trójkąt równoramienny o podstawie długości 12cm i ramieniu długości 10cm wpisano drugi trójkąt równoramienny, którego końce podstawy należą do ramion trójkąta danego, podstawa jest równoległa do podstawy danego trójkąta, a trzeci wierzchołek jest środkiem podstawy danego trójkąta. Jakie powinny być długości boków trójkąta wpisanego, aby jego pole było największe?
5. Środkowe poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych trójkąta prostokątngo mają długości a i b. oblicz długość trzeciej środkowej tego trójkąta.

Witam Olimpijczyków

Jak Wam poszło??
Moje wyniki (II poziom)
Zadanie4 6cm, 5cm, 5cm
Zadanie5 \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ \sqrt{0,8 (a^{2}+ b^{2}) }}\)
Reszty wyników nie pamiętam.

Zadanka prościutkie. Tylko, że w 5. wyszło mi nieco inaczej. Coś w stylu: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3a^2+3b^2}{15}}}\)

Sprawdziłem Twój wynik i nie zgadza się on na konkretnych liczbach.

POZIOM II
Ja zadania zrobiłem tak.
1. \(\displaystyle{ 17 \setminus a-7 \Rightarrow a-7=17k _{1}, k _{1} \subset C}\)
\(\displaystyle{ 17 \setminus b-6 \Rightarrow b-6=17k _{2}, k _{2} \subset C}\)
Wyliczamy z tych równań "a" i "b" i mamy:
\(\displaystyle{ a=17k _{1}+7}\)
\(\displaystyle{ b=17k _{2}+6}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ 2a+3b+2=2(17k _{1}+7)+3(17k _{2}+6)+2=34k _{1}+14+51k_{2}+18+2=17(2k _{1}+3k _{2}+2) \Rightarrow 17 \setminus 2a+3b+2}\)
2. Mamy dwa równania. W pierwszego wnioskujemy że:
\(\displaystyle{ x \neq 0, y \neq 0, x=- \frac{2}{y}}\)
\(\displaystyle{ I przypadek, x>y}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}-6\left|x-y\right|+13=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}-6x+6y+13=0}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ \frac{4}{y ^{2} } +y ^{2}+ \frac{12}{y} +6y+13=0 \setminus *y ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4+y ^{4}+12y+6y ^{3}+13y ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ y ^{4}+6y ^{3}+13y ^{2}+12y+4=0}\)
Po rozłożeniu mamy:
\(\displaystyle{ (y+1) ^{2}(y+2) ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ (y=-1 \wedge x=2) \vee (y=-2 \wedge x=1)}\)
Założenia nic nie wykluczają, to tyle z tego przypadku.
\(\displaystyle{ II przypadek, x<y}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}-6\left|x-y\right|+13=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+6x-6y+13=0}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ \frac{4}{y ^{2} } +y ^{2}-\frac{12}{y}-6y+13=0 \setminus *y ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4+y ^{4}-12y-6y ^{3}+13y ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ y ^{4}-6y ^{3}+13y ^{2}-12y+4=0}\)
Po rozłożeniu mamy:
\(\displaystyle{ (y-1) ^{2}(y-2) ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ (y=1 \wedge x=-2) \vee (y=2 \wedge x=-1)}\)
Założenia nic nie wykluczają, to tyle z tego przypadku.
Co nam daje:
\(\displaystyle{ (y=-1 \wedge x=2) \vee (y=-2 \wedge x=1) \vee (y=1 \wedge x=-2) \vee (y=2 \wedge x=-1)}\)
Tego zadania nie jestem do końca pewien ale tak zrobiłem.
3. Założenia i tezę sobie podaruje.
\(\displaystyle{ \Delta=(a+b) ^{2}-4a(b-a)=5a^{2}-2ab+b ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x _{1}}{x _{2}}= \frac{4}{1}}\)
Podstawiamy za pierwiastki "2a" się skraca i mamy:
\(\displaystyle{ \frac{-(a+b)+\sqrt{\Delta}}{-(a+b)- \sqrt{\Delta}}= \frac{4}{1}}\)
\(\displaystyle{ -(a+b)+ \sqrt{\Delta}=4(-(a+b)- \sqrt{\Delta}) \setminus *(-1)}\)
\(\displaystyle{ a+b- \sqrt{\Delta}=4a+4b+4 \sqrt{\Delta}}\)
\(\displaystyle{ 3a+3b=-5 \sqrt{\Delta}}\)
Obustronnie do kwadratu:
\(\displaystyle{ 9a ^{2}+18ab+9b ^{2}=25(5a^{2}-2ab+b ^{2})}\)
\(\displaystyle{ 9a ^{2}+18ab+9b ^{2}=125a ^{2}-50ab+25b ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 116a ^{2}-8ab+16b ^{2}=0 \setminus :4}\)
\(\displaystyle{ 29a ^{2}-17ab+4b ^{2}=0}\)
c.n.d
Zadanie 4.
Rysunek do zadania:
\(\displaystyle{ \left|AB\right|=12}\)
\(\displaystyle{ \left|AC\right|=\left|BC\right|=10}\)
z Tw Pitagorasa w \(\displaystyle{ \Delta ACF}\) wyliczamy że \(\displaystyle{ \left|CF\right|=8=h}\)
\(\displaystyle{ \Delta ABC \sim \Delta CDE}\) ponieważ \(\displaystyle{ AD||DE}\) wiec kąty przy podstawach są takie same, a jeden mają wspólny.
\(\displaystyle{ \frac{\left|AB\right|}{\left|CF\right| }=\frac{\left|DE\right|}{\left|CG\right|}\Rightarrow \left|CG\right|= \frac{2}{3}\left|DE\right|}\)
\(\displaystyle{ P _{ABC}= \frac{1}{2}\left|DE\right|\left|FG\right|}\)
\(\displaystyle{ P _{ABC}= \frac{1}{2}\left|DE\right|(h-\left|CG\right|)}\)
\(\displaystyle{ P _{ABC}= \frac{1}{2}\left|DE\right|(8- \frac{2}{3}\left|DE\right|)}\)
\(\displaystyle{ \left|DE\right|=c}\)
\(\displaystyle{ P(c)=-\frac{1}{3}c+4c, c \subset (0;12)}\)
Ma ujemny współczynnik przy najwyższej potędze zatem liczymy pierwszą współrzędną wierzchołka.
\(\displaystyle{ X _{c}= -\frac{4}{- \frac{2}{3} }}\)
\(\displaystyle{ X _{c}=6}\)
\(\displaystyle{ \left|DE\right|=6}\)
\(\displaystyle{ \left|FG\right|=h-\left|CG\right|=8- \frac{2}{3}\left|DE\right|=4}\)
Z tw Pitagorasa wyliczamy boki i mamy:
\(\displaystyle{ \left|DE\right|=6}\)
\(\displaystyle{ \left|DF\right|=5}\)
\(\displaystyle{ \left|FE\right|=5}\)
zadanie 5.
Rysunek do zadania:
\(\displaystyle{ \left|BE\right|=a}\)
\(\displaystyle{ \left|AD\right|=b}\)
z tw Pitagorasa:
\(\displaystyle{ w \Delta BCE: 4d ^{2}+e ^{2}=a ^{2} \Rightarrow 4d ^{2}=a ^{2}-e ^{2}}\)
\(\displaystyle{ w \Delta ACD: 4e ^{2}+d ^{2}=b ^{2} \Rightarrow 4e ^{2}=b ^{2}-d ^{2}}\)
\(\displaystyle{ w \Delta ABC: 4e ^{2}+4d ^{2}=4f ^{2}}\)
Podstawiamy i mamy:
\(\displaystyle{ a ^{2}-e ^{2}+b ^{2}-d ^{2}=4f ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}-(e ^{2}+d ^{2})=4f ^{2}}\)
D,E to środki odpowiednich boków zatem z własności trójkąta \(\displaystyle{ \left|DE\right|= \frac{1}{2}\left|BA\right|=f}\) czyli mamy że:
\(\displaystyle{ e ^{2}+d ^{2}=f ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}-f ^{2}=4f ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}+b ^{2}=5f ^{2}, f>0}\)
\(\displaystyle{ f= \sqrt{ \frac{a ^{2}+b ^{2}}{5} }}\)
\(\displaystyle{ \left|CF\right|}\) to środkowa poprowadzona z kąta prostego zatem z właśności trójkąta prostokątnego
\(\displaystyle{ \left|CF\right|= \frac{1}{2}\left|AB\right| =f
zatem\left|CF\right|=\sqrt{ \frac{a ^{2}+b ^{2}}{5} }}\)

Mi w I etapie tak:

1. 660 banknotów po 20 zł czyli 13200zł
2. \(\displaystyle{ 2\sqrt{6}}\) i \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\)
3. Wychodziło (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) i stąd już łatwo
4. \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{85}}{3}}\)
5. Coś strasznie dużego, nie pamiętam już, ale na kalkulatorze liczyłem

A jeśli chodzi o sposób rozwiązań:
1. Kongruencja
2.Wzó skr. mnożenia
3.Vieta (swoją drogą na spr z matmy miałem)
4.Pole jako funkcja
5.Dzidek Pitagoras x3-4 ;]

krystian8207 pisze:Zadanka prościutkie. Tylko, że w 5. wyszło mi nieco inaczej. Coś w stylu: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3a^2+3b^2}{15}}}\)

Sprawdziłem Twój wynik i nie zgadza się on na konkretnych liczbach.

czyli \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2}{5}}}\), ja też mam taką odpowiedź

Hehe nie zauważyłem, że się króci xD

krystian8207 pisze:Zadanka prościutkie. Tylko, że w 5. wyszło mi nieco inaczej. Coś w stylu: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3a^2+3b^2}{15}}}\)

Sprawdziłem Twój wynik i nie zgadza się on na konkretnych liczbach.

Sorki pomyłka Wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{0,8 (a^{2}+ b^{2}) }}\)
Czy tak samo tylko trochę inaczej zapisane

gabrysb1995 pisze: 5. Coś strasznie dużego, nie pamiętam już, ale na kalkulatorze liczyłem

To zadanie było dziwne bo policzyć na kalkulatorze każdy potrafi... Ja zrobiłem to z takiej prostej tożsamości:

\(\displaystyle{ a^{8}+b^{8}=(a^{4}-b^{4})^{2}+2(ab)^{4}}\)

Pierwszy składnik sumy łatwo rozłożyc na czynniki.

Potem wystarczy podstawic
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=1 \\
a+b=4 \\
a-b=2\sqrt{3} \\
a^{2}+b^{2}=14 \end{cases}}\)

I mamy łatwe do policzenia (bez kalkulatora!) wyrażenie ;] A resztę mam tak samo.

2.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{2}+y ^{2} -6\left|x-y \right|+13=0 \\ xy=-2 \end{cases}}\)

Z pierwszego rownania

\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} -6\left|x-y \right|+13=0}\)
\(\displaystyle{ (x-y)^2 +2xy -6\left|x-y \right|+13=0}\)
\(\displaystyle{ \left|x-y \right|^2 -6\left|x-y \right|+9=0}\)
\(\displaystyle{ t=\left|x-y \right|}\)
\(\displaystyle{ t^2-6t+9=0}\)
\(\displaystyle{ (t-3)^2=0}\)
\(\displaystyle{ t-3=0}\)
\(\displaystyle{ \left|x-y \right|=3}\)
\(\displaystyle{ x-y=3 \vee x-y=-3}\)

Teraz mamy do rozwiazania dwa uklady
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=3 \\ xy=-2 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} x-y=-3 \\ xy=-2 \end{cases}}\)

Ostatecznie wychodza rozwiazania \(\displaystyle{ (x,y)= (2,-1),(1,-2),(-2,1),(-1,2)}\)

nobuddy pisze:

gabrysb1995 pisze: 5. Coś strasznie dużego, nie pamiętam już, ale na kalkulatorze liczyłem

To zadanie było dziwne bo policzyć na kalkulatorze każdy potrafi... Ja zrobiłem to z takiej prostej tożsamości:

\(\displaystyle{ a^{8}+b^{8}=(a^{4}-b^{4})^{2}+2(ab)^{4}}\)

Pierwszy składnik sumy łatwo rozłożyc na czynniki.

Potem wystarczy podstawic
\(\displaystyle{ \begin{cases} ab=1 \\
a+b=4 \\
a-b=2\sqrt{3} \\
a^{2}+b^{2}=14 \end{cases}}\)

I mamy łatwe do policzenia (bez kalkulatora!) wyrażenie ;] A resztę mam tak samo.

Mi nie przyszło do głowy, aby takiej tożsamości skorzystać, ja sobie najpierw podstawiłem za \(\displaystyle{ 2}\) - a, a za \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) - b i rozwinąłem sobie całe wyrażenie i po upraszczałem, i wychodzi coś krótszego, ale bez kalkulatora nie było co ruszać. Całe szczęście nie pomyliłem się w obliczeniach, a potrafię się nawet kalkulatorem pomylić;) Zadanie strasznie dziwne, ale przyznam, gdy zobaczyłem Twój pomysł, to jestem pod wrażeniem, my przez chwilę nie przyszło do głowy, aby próbować to przekształcić. Mam pytanie czemu podstawiałeś np. za \(\displaystyle{ ab=1}\)?

bo:

\(\displaystyle{ a=2+ \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ b=2- \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ ab=(2+ \sqrt{3})(2- \sqrt{3})=4-3=1}\)

Wzór skróconego mnożenia.

PS: Pozostałe to już oczywiście \(\displaystyle{ a+b=2+ \sqrt{3} + 2- \sqrt{3} =4}\) itd.