znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej prostą i prostopad

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
basti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 9 lip 2009, o 22:28
Płeć: Mężczyzna

znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej prostą i prostopad

Post autor: basti » 7 mar 2011, o 21:35

znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej prostą: l: \(\displaystyle{ \frac{x-3}{2}=\frac{x+1}{3}=\frac{z}{1}}\) i prostopadłej do płaszczyzny p: \(\displaystyle{ 2x+y-z+1=0}\) wiem że pewnie zadanie opiera się o 2 wzory na krzyż, ale nie mam czasu na zgłębianie wiedzy samemu bo mam warunek z matmy i 3 dni na nauki wielu zagadnień. wytłumaczy mi ktoś łopatologicznie jak to zrobić i podrzuci przy okazji wzory?? Dzięki wielkie Basti

Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto

znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej prostą i prostopad

Post autor: sebnorth » 7 mar 2011, o 22:31

Szukana płaszczyzna, nazwijmy ją \(\displaystyle{ \pi}\) ma równanie ogólne \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) ale wiemy, że zawiera prostą \(\displaystyle{ l}\), która przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ [3,-1,0]}\) zatem \(\displaystyle{ \p}\)i będzie miała postać: \(\displaystyle{ A(x-3) + B(y+1) + Cz = 0}\) [*] To wynika z jej równania: \(\displaystyle{ \frac{x-3}{2}=\frac{x+1}{3}=\frac{z}{1}}\) Ponadto wektor normalny dla \(\displaystyle{ \pi}\) będzie prostopadły do wektora kierunkowego tej prostej czyli: \(\displaystyle{ A \cdot 2 + B \cdot 3 + C \cdot 1 = 0}\) [*][*] Wreszcie wiemy, że \(\displaystyle{ \pi \perp p : 2x+y-z+1=0}\) Czyli \(\displaystyle{ A \cdot 2 + B \cdot 1 + C \cdot (-1) = 0}\) [*][*][*] Zbierając równania oznaczone gwiazdkami otrzymujemy układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ A,B,C}\) o którym wiemy, że ma niezerowe rozwiązanie bo płaszczyzna z definicji ma warunek \(\displaystyle{ A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0}\). Zatem wyznacznik tego ukladu musi być równy zeru. I tam się kryje równanie płaszczyzny.

basti
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 47
Rejestracja: 9 lip 2009, o 22:28
Płeć: Mężczyzna

znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej prostą i prostopad

Post autor: basti » 7 mar 2011, o 22:34

dziękuje mistrzu

ODPOWIEDZ