Matematyka.pl

oto całka:

\(\displaystyle{ \int \frac{ \sin x - \cos x }{ \sin x \cos x }dx}\)

rozpisuje ją następujący sposób:



\(\displaystyle{ \int \frac{ \sin x }{ \sin x \cos x }dx - \int \frac{ \cos x }{ \sin x \cos x }dx = \int \frac{1}{ \cos x }dx - \int \frac{1}{ \sin x }dx}\)




nie wiem co dalej. czy to róznica log a rytmów natura ln y ch z \(\displaystyle{ \cos x}\) i \(\displaystyle{ \sin x}\) ?

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sin x } = \int \frac{dx}{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} } = \int \frac{dx}{2 \tg \frac{x}{2} \cdot \cos ^ 2 \frac{x}{2} }}\) teraz podstawienie uniwersa ln e

dzieki na to nie wpadlam

Aby obliczyć tę drugą całkę podstawieniem wskazanym przez poprzednika
można skorzystać ze wzorów redukcyjnych

\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \mbox{d}x }{\cos{x}} }=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\sin{\left( \frac{\pi}{2}-x \right) }} }=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{2\sin{\left( \frac{\frac{\pi}{2}-x}{2} \right) } \cos{\left( \frac{\frac{\pi}{2}-x}{2} \right) }}}}=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{2\tan{\left( \frac{\frac{\pi}{2}-x}{2} \right) } \cos^{2}{\left( \frac{\frac{\pi}{2}-x}{2} \right) }}}}=-\ln{\left| \tan{\left( \frac{\pi}{4}- \frac{x}{2} \right) }\right| }+C}\)

Wyjściową całkę można też rozłożyć na sumę czterech całek

\(\displaystyle{ \int{ \frac{\sin{x}-\cos{x}}{\sin{x}\cos{x}} \mbox{d}x}= \int{\frac{ \mbox{d}x }{\cos{x}}}-\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sin{x}}}\\
= \int{\frac{\cos{x} \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}}}-\int{\frac{\sin{x} \mbox{d}x }{\sin^{2}{x}}}\\
= \frac{1}{2}\left(\int{\frac{\cos{x}\left( 1+\sin{x}+1-\sin{x}\right) \mbox{d}x }{1-\sin^{2}{x}}} \right) + \frac{1}{2}\left( \int{ \frac{\left( -\sin{x}\right)\left( 1+\cos{x}+1-\cos{x} \right) }{1-\cos^{2}{x}} }\right) \\
=\frac{1}{2}\int{ \frac{\cos{x}}{1+\sin{x}} \mbox{d}x }+\frac{1}{2}\int{ \frac{\cos{x}}{1-\sin{x}} \mbox{d}x }+\frac{1}{2}\int{ \frac{\left( -\sin{x}\right) }{1+\cos{x}} \mbox{d}x }+\frac{1}{2}\int{ \frac{\left( -\sin{x}\right) }{1-\cos{x}} \mbox{d}x }}\)