Matematyka.pl

Dany jest czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\)
\(\displaystyle{ BC=a}\), \(\displaystyle{ AC=b}\), \(\displaystyle{ AB=c}\), \(\displaystyle{ AD=d}\), \(\displaystyle{ BD=e}\), \(\displaystyle{ CD=f}\)
Niech S będzie środkiem ciężkości ABC
Wykazać, że
\(\displaystyle{ DS= \frac{1}{3} \sqrt{3d^{2}+3e^{2}+3f^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}}}\)
Nie wiem jak się za to zabrać. Pomocy! Z góry dzięki za podpowiedzi.

Środkiem ciężkości \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) jest \(\displaystyle{ \frac{A+B+C}{3}=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\ldots\right)}\). (Trzy kropeczki oznaczają pozostałe współrzędne, na których dzieje się dokładnie to samo, co na pierwszej.
Odległość tego punktu od \(\displaystyle{ D}\) jest równa
\(\displaystyle{ \left|\frac{A+B+C}{3}-D\right|=\sqrt{\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}-x_D\right)^2+\ldots\phantom{2}}=
\frac{1}{3}\sqrt{(x_A+x_B+x_C-3x_D)^2+\ldots\phantom{2}}}\).
Teraz wystarczy tylko rozpisać to, rozpisać to co ma wyjść i stwierdzić że to jest to samo.