rzut prostej na płaszczyznę

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: alfgordon » 6 mar 2011, o 13:06

znaleźć rzut prostej \(\displaystyle{ l_{1} : \frac{x}{2}= \frac{y}{3} = \frac{z}{1}}\) na płaszczyznę poprowadzoną przez prostą:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} 2x +3y +z-8=0 \\ x+4y-2z+3=0 \end{cases}}\)
równolegle do prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\)

wydaje mi się że wiem jak znaleźć rzut prostej na płaszczyznę, jednak tego zadania nie rozumiem,

Bo nie wiem jak znaleźć równanie płaszczyzny..
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: Crizz » 6 mar 2011, o 13:19

Wyznacz wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\) jako iloczyn wektorowy wektorów normalnych podanych w równaniu płaszczyzn, tzn. \(\displaystyle{ [2,3,1] \times [1,4,-2]}\).

Następnie wyznacz wektor normalny do szukanej płaszczyzny jako iloczyn wektorowy powyższego wektora oraz wektora kierunkowego prostej \(\displaystyle{ l_1}\).

Dalej już chyba sobie poradzisz.

Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: alfgordon » 6 mar 2011, o 14:55

\(\displaystyle{ [2,3,1] \times [1,4,-2] =[-2,1,1]}\)
\(\displaystyle{ [-2,1,1] \times [2,3,1] =[-1,2,-2]}\)

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x= \frac{49}{5} -2t \\ y= - \frac{14}{5} +t \\ z=t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \pi : -(x- \frac{49}{5}) +2(y- \frac{14}{5}) -2z=0}\)


Szukam pktów wspólnych prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ \pi}\) i wychodzi dla \(\displaystyle{ t=- \frac{21}{10}}\)
\(\displaystyle{ A=(- \frac{41}{10},- \frac{63}{10}, - \frac{21}{10})}\)

szukam 2 pktu:
dla \(\displaystyle{ t=0}\)
\(\displaystyle{ B=(0,0,0)}\), \(\displaystyle{ B' =(x,y,z)}\)
\(\displaystyle{ BB' =[x,y,z] || [-1,2,-2]}\)

\(\displaystyle{ \exists k \neq 0 : \begin{cases} x=-k \\ y=2k \\ z=-2k \end{cases}}\)
i \(\displaystyle{ B' \in \pi}\) więc:

rozwiązuje układ równań:
\(\displaystyle{ k+4k +4k + \frac{21}{5}=0 \Rightarrow k= - \frac{7}{15}}\)

\(\displaystyle{ B' =( \frac{7}{15} , - \frac{14}{15} , \frac{14}{15} )}\)

i teraz wystarczy rozw. równanie:
\(\displaystyle{ \frac{x+ \frac{41}{10} }{ \frac{7}{15} + \frac{41}{10}} = \frac{y+ \frac{63}{10} }{- \frac{14}{15}+ \frac{63}{10} }= \frac{z+ \frac{21}{10} }{ \frac{14}{15}+ \frac{21}{10} }}\)

Dobrze robię? bo coś dziwne wyniki wychodzą...

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: Crizz » 6 mar 2011, o 15:26

Hmmm... wydaje mi się, ze te iloczyny wektorowe na początku są źle obliczone. W pierwszym to sobie specjalnie uprościłeś ten wektor chyba? Czy taki Ci wyszedł rzeczywiście wynik? W drugim kompletnie się nie zgadza.

Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: alfgordon » 6 mar 2011, o 15:28

tak uprościłem sobie, i rzeczywiście mam błąd, powinno wyjść:
\(\displaystyle{ [-1,2,-4]}\)
A idea dobra?

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

rzut prostej na płaszczyznę

Post autor: Crizz » 6 mar 2011, o 15:38

Idea dobra.

ODPOWIEDZ