Wykaż podzielność

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
smmileey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 25 paź 2010, o 15:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 56 razy

Wykaż podzielność

Post autor: smmileey » 5 mar 2011, o 16:22

Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ n^{5}-n}\) jest podzielna przez 30.

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Wykaż podzielność

Post autor: Vax » 5 mar 2011, o 16:27

Zauważ, że z Małego Twierdzenia Fermata mamy, że dana liczba dzieli się przez 5, pozostaje wykazać podzielność przez 6, zauważmy, że:

\(\displaystyle{ n^5-n = n(n^4-1) = n(n^2+1)(n^2-1) = (n-1)n(n+1)(n^2+1)}\)

Ale \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\) będzie zawsze podzielne przez 6, ponieważ jest to iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych, w których zawsze znajdzie się jedna liczba podzielna przez 3 i przynajmniej jedna liczba podzielna przez 2.

Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Wykaż podzielność

Post autor: Quaerens » 5 mar 2011, o 16:30

\(\displaystyle{ n=k \\ k=k+1 \\ (k+1)^{5}-(k+1)=k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1-k-1=(k^{5}-k)+5(k^{4}+2k^{3}+2k^{2}+k)}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ k^{5}-k}\) jest wielokrotnością 5 to ponieważ drugi składnik także jest taki to nasza liczba musi być wielokrotnością liczby 5, zatem podzielna przez 30. Oczywiście dla pewnego k będzie całkowicie podzielna przez 30.

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Wykaż podzielność

Post autor: smigol » 5 mar 2011, o 16:36

\(\displaystyle{ n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)}\).

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Wykaż podzielność

Post autor: kamil13151 » 6 mar 2011, o 13:11

Vax, jakbyśmy tak napisali na maturze to byśmy dostali max punktów?

Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 611 razy

Wykaż podzielność

Post autor: Vax » 6 mar 2011, o 13:24

Wydaję mi się, że tak, dodatkowo wszystko słownie wytłumaczyliśmy, aczkolwiek uważam, że jeżeli takie zadanie byłoby na maturze lepiej różnymi twierdzeniami posługiwać się w ostateczności, a na początku próbować to udowodnić elementarnie np tak jak napisał smigol

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ